[HNOI2002] 公交车路线

题目背景

在长沙城新建的环城公路上一共有8个公交站，分别为A、B、C、D、E、F、G、H。公共汽车只能够在相邻的两个公交站之间运行，因此你从某一个公交站到另外一个公交站往往要换几次车，例如从公交站A到公交站D，你就至少需要换3次车。

Tiger的方向感极其糟糕，我们知道从公交站A到公交E只需要换4次车就可以到达，可是tiger却总共换了n次车，注意tiger一旦到达公交站E，他不会愚蠢到再去换车。现在希望你计算一下tiger有多少种可能的乘车方案。

题目描述

输入输出格式

输入格式：

仅有一个正整数n(4<=n<=10000000)，表示tiger从公交车站A到公交车站E共换了n次车。

输出格式：

仅有一个正整数，由于方案数很大，请输出方案数除以 1000后的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

6

输出样例#1：

8

说明

8条路线分别是：

(A→B→C→D→C→D→E)，(A→B→C→B→C→D→E)，

(A→B→A→B→C→D→E)，(A→H→A→B→C→D→E)，

(A→H→G→F→G→F→E)，(A→H→G→H→G→F→E)，

(A→H→A→H→G→F→E)，(A→B→A→H→G→F→E)。

题解：

看到数据范围n<=10000000。想到肯定要O(n)才能过。

O(n）算法复杂度+一个输入输出，肯定就是递推啦

可是递推公式？？

暴力算前几个答案是

4　　5　　6　　7　　8　　9　　10　　11　　12　　13　　14

2　　0　　8　　0　　28    0　　96　　0　　328　　0　　1120

发现当n为奇数时，ans=0；

开始想递推式

设f[i]=x*f[i-1]+y;           解出答案后代入后面是不成立的

设f[i]=x*f[i-1]+y*f[i-2]+z;

28=8x+2y+z;  96=28x+8y+z;    328=96x+28y+z;

解得 x=4;y=-2;z=0;带入后面也是成立的

于是，递推式就出来了，f[i]=4*f[i-1]-2*f[i-2];

一个非常坑的地方：由于答案%1000后f[i-2]有可能大于f[i-1]

所以极端情况下，f[i-2]=999,f[i-1]=0;所以如代码所示，还要+2000后再%1000

#include<iostream>
using namespace std;
int f[10000010]; 
int main()
{
int n;cin>>n;
if(n&1)cout<<0;
else
{
f[4]=2;f[6]=8;
for(int i=8;i<=n;i+=2)f[i]=(4*f[i-2]-2*f[i-4]+2000)%1000;
cout<<f[n]; 
}
return 0;
}

代码居然才写了15行。。。这是省选题啊

那如果加强这个数据，变为有T组数据,每组数据的n变为4<=n<=10^18怎么做呢

那我们可以用矩阵快速幂优化到O(Tlog(n))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int mod=1000; 
struct data{
int d[5][5];
}a,b,c;
data mul(data a,data b)
{
memset(c.d,0,sizeof(c.d));
for(int i=0;i<=1;i++)
for(int j=0;j<=1;j++)
for(int k=0;k<=1;k++)
{
c.d[i][j]=(c.d[i][j]+a.d[i][k]*b.d[k][j])%mod;
} 
return c;
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
long long n;scanf("%lld",&n);
if(n&1)printf("0
");
else
{
b.d[0][0]=0;b.d[0][1]=1;b.d[1][0]=-2+mod;b.d[1][1]=4;
a.d[0][0]=1;a.d[0][1]=0;a.d[1][0]=1;a.d[1][1]=0;
n=(n-4)/2;
while(n)
{
if(n&1)a=mul(a,b);
b=mul(b,b);n>>=1;
}
printf("%d
",(a.d[0][0]*2+a.d[0][1]*8)%mod);
}
}
return 0;
}