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  • Treap

    先推荐一篇文章和黄学长的代码http://hzwer.com/1712.html    https://wenku.baidu.com/view/c8c11e1e650e52ea55189887.html

    Treap,顾名思义,Tree+Heap,它既满足二叉搜索树的性质,又满足堆的性质

    对于二叉搜索树,如果我们把数有序加入,那么它的时间效率会退化成O(n)。

    我们引入一个随机数(即下文描述的修正值),使得随机数满足堆的性质(小根堆或大根堆,不一定要是完全二叉树),这样就能有效避免退化的情况

    Treap可以定义为有以下性质的二叉树:

    1.若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值,而且它的根节点的修正值小于等于左子树根节点的修正值;

    2.若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值,而且它的根节点的修正值小于等于右子树根节点的修正值;

    3.它的左、右子树也分别为Treap。

    如何构建treap?

    一:旋转

    为了维护它的堆性质和二叉搜索树性质,我们引入了一个旋转的概念

    左旋:把旋转节点原先父亲的位置用旋转节点代替。把它原先父亲自身和左子树作为它的左子树。把它的左子树作为它原先父亲的右子树

    右旋:把旋转节点原先父亲的位置用旋转节点代替。把它原先父亲自身和右子树作为它的右子树。把它的右子树作为它原先父亲的左子树

                                                

     (左侧图是左旋,右侧图是右旋)

    旋转的意义在于:旋转可以使不满足堆序的两个节点通过调整位置,重新满足堆序,而不改变BST性质。

    我感觉旋转最麻烦的地方是怎么找到上图中红圈点的父亲的编号(因为没记每个点的父亲,记录的话旋转很麻烦)

    通过回溯时传回一个变量来更新它的左(右)孩子(即传回红圈点)

    二.查找,遍历方式见二叉搜索树

    三.插入

    1.从根节点开始插入;

    2.如果要插入的值小于当前节点的值,在当前节点的左子树中插入,插入后如果左子节点的修正值小于当前节点的修正值,对当前节点进行右旋;

    2.如果要插入的值等于当前节点的值,把当前节点的出现次数+1  (开一个变量记录出现次数);

    3.如果要插入的值大于当前节点的值,在当前节点的右子树中插入,插入后如果右子节点的修正值小于当前节点的修正值,对当前节点进行左旋;

    4.如果当前节点为空节点,在此建立新的节点,该节点的值为要插入的值,左右子树为空,插入成功。

    旋转可以在建好新节点,回溯的时候进行(具体参见代码)

    四.删除

    情况一,该节点为叶节点或链节点,则该节点是可以直接删除的节点。若该节点有非空子节点,用非空子节点代替该节点的,否则用空节点代替该节点,然后删除该节点。  

    情况二 ,该节点有两个非空子节点。我们的策略是通过旋转,使该节点变为可以直接删除的 节点。如果该节点的左子节点的修正值小于右子节点的修正值,右旋该节点,

    使该节点降为右子树的根节点,然后访问右子树的根节点,继续讨论;反之,左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点,然后访问左子树的根节点,继续讨论,直到变成可以直接删除的节点。

    这样,Treap的基本操作就讲完了。

    Treap功能:

    一:查最值

    查找一个子树的最小值,从子树的根开始访问,如果当前节点左子节点非空,访问当前节点的左子节点;如果当前节点左子节点已经为空,那么当前节点的值就是这个子树的最小值。查最大值同理

    二:求前驱后继

    每个地方关于前驱后继的定义可能会有所不同(其实就有没有取等)

    求一个元素在平衡树(或子树)中的前驱,定义为查找该元素在平衡树中不大于该元素的最大元素。

    相似的,求一个元素在平衡树(或子树)中的后继,定义为查找该元素在平衡树中不小于该元素的最小元素。

    求前驱: 

    1.从根节点开始访问,初始化最优节点为空节点;

    2.如果当前节点的值不大于要求前驱的元素的值,更新最优节点为当前节点,访问当前节点的右子节点;

    3.如果当前节点的值大于要求前驱的元素的值,访问当前节点的左子节点;

    4.如果当前节点是空节点,查找结束,最优节点就是要求的前驱。

    求后继同理

    三:查询第k大的元素(第k小同理)

    如果我们想查找第k小的元素或者询问某个元素在Treap中从小到大的排名时,我们就必须知道每个子树中节点的个数。我们称以一个子树的所有节点的权值之和,为子树的大小。由于插入、删除、旋转等操作,会使每个子树的大小改变,所以我们必须对子树的大小进行动态的维护。

    对于旋转,我们要在旋转后对子节点和根节点分别重新计算其子树的大小。

    对于插入,新建立的节点的子树大小为1。在寻找插入的位置时,每经过一个节点,都要先使以它为根的子树的大小增加1,再递归进入子树查找。

    对于删除,在寻找待删除节点,递归返回时要把所有的经过的节点的子树的大小减少1。要注意的是,删除之前一定要保证待删除节点存在于Treap中。

    四:查询k是第几大

    1.定义P为当前访问的节点,从根节点开始访问,查找排名第k的元素;

    2.若满足P.left.size + 1 <=k <= P.left.size + P.weight,则当前节点包含的元素就是排名第k的元素;  

    3.若满足k < P.left.size + 1,则在左子树中查找排名第k的元素;

    4.若满足k > P.left.size + P.weight,则在右子树中查找排名第k-(P.left.size + P.weight)的元素。

     模板题【bzoj3224】Tyvj 1728 普通平衡树

    您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作:
    1. 插入x数
    2. 删除x数(若有多个相同的数,因只删除一个)
    3. 查询x数的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名)
    4. 查询排名为x的数
    5. 求x的前驱(前驱定义为小于x,且最大的数)
    6. 求x的后继(后继定义为大于x,且最小的数)

    Input

    第一行为n,表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x,opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

    Output

    对于操作3,4,5,6每行输出一个数,表示对应答案

    Sample Input

    10
    1 106465
    4 1
    1 317721
    1 460929
    1 644985
    1 84185
    1 89851
    6 81968
    1 492737
    5 493598

    Sample Output

    106465
    84185
    492737

    Hint

    1.n的数据范围:n<=100000
    2.每个数的数据范围:[-2e9,2e9]
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<ctime>
    using namespace std;
    int lson[1000001],rson[1000001],size[1000001],cs[1000001],heap[1000001],val[1000001],cnt=0,ans,root=0;
    //左儿子,右儿子,子树大小,出现次数,随机值,该点值 
    void up(int x){size[x]=size[lson[x]]+size[rson[x]]+cs[x];}         //我当时打的时候忘记加上自己出现的次数
    int lturn(int x){int t=rson[x];rson[x]=lson[t];lson[t]=x;up(x);up(t);return t;}//返回值是深度最低的点的值 
    int rturn(int x){int t=lson[x];lson[x]=rson[t];rson[t]=x;up(x);up(t);return t;}//即最上面的值 
    int add(int x,int v)//插入一个权值为v的点 ,返回值是该点原父亲的左(右)孩子值 
    {
        if(!x){x=++cnt;lson[x]=0;rson[x]=0;size[x]=1;cs[x]=1;heap[x]=rand();val[x]=v;return x;}
        size[x]++;
        if(val[x]==v){cs[x]++;return x;}
        if(val[x]>v){lson[x]=add(lson[x],v);if(heap[lson[x]]<heap[x])return rturn(x);return x;}//递归旋转完了后加入的点变成了x的子树,由于是找左子树,所以右旋
        if(val[x]<v){rson[x]=add(rson[x],v);if(heap[rson[x]]<heap[x])return lturn(x);return x;}
    }
    int del(int x,int v)//返回值同上 
    {
        if(x==0)return x;//没找到 
        if(val[x]==v)//找到 
        {
            if(cs[x]>1){cs[x]--;size[x]--;return x;}
            if(!(lson[x]*rson[x]))return lson[x]+rson[x];//如果左右子树有不为空,删该点       这个括号不能省略(我就这里调了半天)
            int t;
            if(heap[lson[x]]<heap[rson[x]]){t=rturn(x);size[t]--;rson[t]=del(x,v);return t;}//右旋往t的右子树(x)找,更新t右子树
    //注意要更新t节点的子树大小,因为x变成t的子节点,而x要被删去,所以要把t的子树大小减一
    else {t=lturn(x);size[t]--;lson[t]=del(x,v);return t;}//选左右子树随机值小的旋转至根 } if(val[x]>v){size[x]--;lson[x]=del(lson[x],v);return x;}//往左找 if(val[x]<v){size[x]--;rson[x]=del(rson[x],v);return x;} } int get_rank(int x,int v)//查询v是第几大 { if(val[x]==v)return size[lson[x]]+1; if(val[x]>v){return get_rank(lson[x],v);} if(val[x]<v){return size[lson[x]]+cs[x]+get_rank(rson[x],v);} } int get_val(int x,int v)//查询第几大的数 { if(v<=size[lson[x]])return get_val(lson[x],v); if(v>size[lson[x]]+cs[x])return get_val(rson[x],v-size[lson[x]]-cs[x]); return val[x]; } void get_qq(int x,int v)//找前驱 { if(x==0)return; if(val[x]<v){ans=val[x];get_qq(rson[x],v);} else get_qq(lson[x],v); } void get_hj(int x,int v)//找后继 { if(x==0)return; if(val[x]>v){ans=val[x];get_hj(lson[x],v);} else get_hj(rson[x],v); } int main() { srand((int)time(0));int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int o,x;scanf("%d%d",&o,&x); if(o==1){root=add(root,x);} if(o==2){root=del(root,x);} if(o==3){printf("%d ",get_rank(root,x));} if(o==4){printf("%d ",get_val(root,x));} if(o==5){get_qq(root,x);printf("%d ",ans);} if(o==6){get_hj(root,x);printf("%d ",ans);} } return 0; }

     话说bzoj用srand会RE。。。。。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lher/p/7468112.html
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