设(max(S))为集合S中的最大值,(min(S))为集合S中的最小值,可得
[max(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{| T|+1}min(T)
]
[min(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}max(T)
]
使用时要保证集合元素两两互异,若有相同元素,处理时进行微小扰动即可
对第一个等式进行分析,考虑一个元素(x),其在集合(S)中的排名为(k),那么对于一个(S)的子集(T),使得(min(T)=x)的(T)的个数有(2^{|S|-k})个,其中大小为偶数的有(2^{|S|-k-1})个,大小为奇数的有(2^{|S|-k-1})个,刚好相互抵消
只有当这个元素(x)的排名为(|S|)时,也就是(S)集合中的最大值时,其不会被抵消