洛谷P4607 [SDOI2018] 反回文串

设长度为 (n) 字符集大小为 (k) 的回文串的个数为 (g(n)=k^{leftlceilfrac{n}{2} ight ceil})，回文串的每个循环位移都有贡献，但因为循环同构，直接算会算重。不难发现若一个回文串是由同一个串重复循环得到的，那么该串也为回文串，即若有回文串 (s=t^k)，则 (t) 也为回文串。考虑枚举回文串的最小循环串长度。

设 (v(n)) 为一个回文串的最小循环串长度为 (n) 时的贡献，(n) 为偶数时会计算两遍，因为当回文串循环位移了 (frac{n}{2}) 后，又会得到一个最小循环串长度为 (n) 的回文串，因此得 (v(n)=nfrac{1+left[ 2 otmid n ight]}{2})。

设 (f(n)) 为最小循环串为其本身的长度为 (n) 的回文串个数，得：

[largeegin{aligned} sum_{dmid n} f(d)&=g(n)\ f(n)&=sum_{dmid n}g(d)muleft(frac{n}{d} ight)\ end{aligned} ]

得答案为：

[largeegin{aligned} &sum_{dmid n} f(d)v(d)\ =&sum_{dmid n}sum_{tmid d}g(t)muleft(frac{d}{t} ight)v(d)\ =&sum_{tmid n}g(t)sum_{dmid frac{n}{t}}muleft(d ight)v(dt)\ end{aligned} ]

考虑进一步化简 (sumlimits_{dmid frac{n}{t}}muleft(d ight)v(dt))，发现除了 (d) 为偶数且 (t) 为奇数的情况，都有 (v(dt)= dv(t))。考虑 (d) 为偶数且 (t) 为奇数时一定有 (frac{n}{t}) 也为偶数，于是可以将满足 (mu(d) eq 0) 且 (d) 中质因子没有 (2) 的 (d) 和 (2d) 进行配对，因为此时有 (v(dt)=dt=v(2dt))，所以两两配对后得 (sumlimits_{dmid frac{n}{t}}muleft(d ight)v(dt)=0)。

于是就可以代入 (v(dt)= dv(t))，得答案为：

[largeegin{aligned} &sum_{tmid n}g(t)v(t)sum_{dmid frac{n}{t}}muleft(d ight)d\ =&sum_{tmid n}g(t)v(t)prod_{pmid frac{n}{t}}left( 1-p ight) end{aligned} ]

用 (Pollard-Rho) 将 (n) 质因数分解后，用 (dfs) 枚举 (n) 的约数，(dfs) 过程中维护 (prodlimits_{pmid frac{n}{t}}left( 1-p ight)) 即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 110
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
ll T,n,k,p,cnt,tot,ans;
ll pri[12]={2,3,5,7,11,13,17,19},t[maxn],v[maxn],a[maxn];
ll mul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll c=(long double)x*y/mod+0.5;
	c=x*y-c*mod;
	return c<0?c+mod:c;
}
ll qp(ll x,ll y,ll mod)
{
    ll v=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) v=mul(v,x,mod);
        x=mul(x,x,mod),y>>=1;
    }
    return v%mod;
}
bool check(ll x,ll p,ll mod)
{
    ll t=qp(x,p,mod);
    if(t==mod-1) return true;
    if(t==1) return p&1?true:check(x,p/2,mod);
    return false;
}
bool Miller_Rabin(ll n)
{
    if(n==1) return false;
    if(n<=3) return true;
    if(!(n&1)) false;
    for(int i=0;i<8;++i)
    {
        if(n==pri[i]) return true;
        if(!check(pri[i],n-1,n)) return false;
    }
    return true;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll f(ll x,ll y,ll mod)
{
    return (mul(x,x,mod)+y)%mod;
}
ll Pollard_Rho(ll x)
{
    ll s=0,t=0,c=(ll)rand()%(x-1)+1,val=1;
    for(ll goal=1;;goal<<=1,s=t,val=1)
    {
        for(ll step=1;step<=goal;++step)
        {
            t=f(t,c,x);
            val=mul(val,abs(t-s),x);
            if(step%127==0)
            {
                ll d=gcd(val,x);
                if(d>1) return d;
            }
        }
        ll d=gcd(val,x);
        if(d>1) return d;
    }
}
void fac(ll x)
{
    if(x<2) return;
    if(Miller_Rabin(x)) 
    {
        t[++cnt]=x;
        return;
    }
    ll p=x;
    while(p>=x) p=Pollard_Rho(x);
    fac(x/p),fac(p);
}
void dfs(int x,ll d,ll t)
{
    if(x==tot+1)
    {
        if(!(n/d&1)||(d&1))
            ans=(ans+qp(k,(n/d+1)/2,p)*(((n/d&1)?n/d:n/d/2)%p)%p*t%p)%p;
        return;
    }
    dfs(x+1,d,t),t=t*(1-v[x]%p+p)%p;
    for(int i=1;i<=a[x];++i) d*=v[x],dfs(x+1,d,t);
}
int main()
{
    srand((ll)new char),read(T);
    while(T--)
    {
        read(n),read(k),read(p),k%=p,cnt=tot=ans=0;
        fac(n),sort(t+1,t+cnt+1);
        for(int i=1;i<=cnt;++i)
        {
            if(t[i]!=t[i-1]) v[++tot]=t[i],a[tot]=0;
            a[tot]++;
        }
        dfs(1,1,1),printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}