如何推导求和公式
( 1^2+2^2+3^2+cdots+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )
和
( 1^3+2^3+3^3+cdots+n^3=frac{n^2(n+1)^2}{4} )
呢？这需要一点技巧。
首先来看一个恒等式：
( (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 )
( Leftrightarrow n^2=frac{1}{3}left [ (n+1)^3-n^3-(3n+1) ight ] )
对上式求和，( (n+1)^3-n^3 ) 会只剩首尾两项（中间的消掉了），( 3n+1 ) 是等差数列，求和公式已知。这样就能求出二次方的求和公式。用同样的方法，可以推出三次方的求和公式：
( (n+1)^4 - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 )
( Leftrightarrow n^3 = frac{1}{4}left [ (n+1)^4 - n^4 - (6n^2+4n+1) ight ] )
对上式求和，( (n+1)^4 - n^4 ) 会只剩首尾两项，( 6n^2 ) 和 ( 4n+1 ) 求和公式已知（前者可以用上面推导的二次方的求和公式，后者是等差数列。这样就能推出三次方的求和公式。一直这样递推下去就能得到各次的求和公式。