把任意一个正数开平方再加 (1), 把得到的结果也开平方再加 (1), 不断算下去，最终总会得到 ( frac{3+sqrt{5}}{2} approx 2.61804 ), 即：
( sqrt{cdots sqrt{sqrt{sqrt{x}+1}+1}+1}+1 = frac{3+sqrt{5}}{2} ;;;; (x>0) )
这是某同学玩计算器时发现的，非常有意思。不管一开始给的数是多少，终最都会停在这个神奇的数上，它是黄金比 ( frac{sqrt{5}+1}{2} ) 的平方。
比如代入 (x=2), 成立：
代入 (x=20), 也成立：
把算式从 ( sqrt{x}+1 ) 换成 ( sqrt{x}+2 ) 也有类似结论：
也就是说，递推数列
( a_{n+1} = sqrt{a_{n}}+1 ;;;; (a_{1}>0) )
在 ( n ightarrow +infty ) 时，收敛于 ( frac{3+sqrt{5}}{2} ). 把 (+1) 换成加别的正数也有类似结论，只是收敛到的值不同。
那么，问题来了：这是为什么呢？为什么收敛？为什么极限是这个数，而且与 ( a_{1} ) 无关？
我在网上提问后，得到了这样的答案：
你看，如果这个数列在 ( n ightarrow +infty ) 时收敛的话，那么当 (n)「很大很大」的时候，( a_{n+1} 和 a_{n} ) 就是一个东西了，即：
( lim_{n ightarrow +infty} a_{n} = lim_{n ightarrow +infty} a_{n+1} )
将递推式代入可得：
( lim_{n ightarrow +infty} a_{n} = lim_{n ightarrow +infty} (sqrt{a_{n}}+1) )
( lim_{n ightarrow +infty} a_{n} = left (lim_{n ightarrow +infty} sqrt{a_{n}} ight )+1 )
( lim_{n ightarrow +infty} a_{n} = sqrt{ lim_{n ightarrow +infty} a_{n} }+1 )
令 ( x = lim_{n ightarrow +infty} a_{n} ), 得：
( x = sqrt{x}+1 )
解得
( x = frac{3+sqrt{5}}{2} )
这一答案有理有据，解释了为什么极限与 ( a_{1} ) 无关，并且解出了这个极限。可「为什么收敛」的问题，还是没有解决。
后来不知从哪里看到一个作图方法，正好可以解决这个问题。虽然不是严格证明，但非常直观。
如图，蓝色直线（设为 (l)）是 ( y = x ), 红色曲线（设为 (m)）是 ( y = sqrt{x}+1 ), 它们的交点 (I) 的横坐标 (I_{x}) 即是方程 ( x = sqrt{x}+1 ) 的解，也就是数列的极限。
在 (x) 轴上取点 (A_{1}(a_{1},; 0)), 过 (A_{1}) 作竖直直线交 (m) 于 (P_{1}). 此时 (P_{1}) 的纵坐标为 (sqrt{a_{1}}+1), 即 (a_{2}). 这相当于完成了第一次代入。
为了进行第二次代入，以求出 (a_{3}), 我们可以过 (P_{1}) 作水平直线交 (l) 于 (R_{1}), (R_{1}) 在 (x) 轴上的投影设为 (A_{2}), 它的横坐标是 (A_{2}).
这时。我们就可以像刚才的 (A_{1}) 一样，过 (A_{2}) 作竖直直线交 (m) 于 (P_{2}), 求出 (a_{3}) …… 一直重复这个过程，就会在 (x) 轴上留下一串点 ( A_{1};A_{2};A_{3}cdots ), 它们的横坐标就是数列的各项 ( a_{1};a_{2};a_{3}cdots ) .
两条曲线中间留下了一个阶梯状的图形。很容易看出，这个「阶梯」是穿不过 (I) 点的，而且随着 (n) 趋于无穷大，(P_{n}) 点无限趋近于 (I) 点。这就说明了数列 ({a_{n}}) 收敛于 (I_{x} = frac{3+sqrt{5}}{2}) .
这个作图方法适用于各种 ( a_{n+1} = f(a_{n}) ) 形的递推数列，比如下面这个 (a_{n+1} = cos(a_{n})) :
只不过这个就不是阶梯形的了，而是螺旋形的，一圈一圈地往里转。
至此，终于打破沙锅问到底，把玩计算器玩出的问题解决了。