手算平方根的「正确」方法，是什么方法？如果你认为是牛顿迭代法的话，你可以亲自试一下，看看效果如何：
（原帖 kz3007407872, 鉴于百度贴吧的帖子是公开的，我就不打码了）
其实牛顿迭代法非常好，在电脑上快得飞起。但是手算就不行了。
那么「正确」的方法是什么呢？是这个：
（原帖同上）
说得神神叨叨的，还能开无限小数，到底是什么方法？帖子里没说。
不过，幸运的是，我有一天翻 Wiki 的时候，碰巧翻到了这个方法。本文将详细介绍这个方法。
(2) 的算术平方根是多少？是 (sqrt{2}). 不是 (1.41), 也不是 (1.414213). 所以，本文讨论的计算，是以（十进制小数）近似值为主的。准确地说，是不足近似值。
近似值，无论是精确到小数点后 1 位还是 1000 位，都是近似值。所以，计算近似值，先得确定精度（即：你算到哪一 位 / 数量级 就满意了）。
先讨论对一位数开平方，精确到小数点后 1 位的情况（以计算 (sqrt{2}) 为例）。
这一上来就有一个问题：大家都知道 (sqrt{2}) 精确到一位小数是 (1.4), 但为是么是 (1.4), 不是 (1.3) 或 (1.5)?
显然，(1.5^2 > 2), 不是我们要的不足近似值。而 ( 1.3^2 < 1.4^2 < 2 ) 所以在不过剩的情况下，最接近的（在给定精度范围内的）数是 (1.4).
既然是这样的话，我们就可以把这个过程「概括」成这样一个问题的求解：
求最大的一位数 (x), 使得不等式 ( overline{1.x}^2 leqslant 2 ) 成立。
求出 (x=4) 后，如果要继续提高精度，那么再求解这个问题：
求最大的一位数 (y), 使得不等式 ( overline{1.4y}^2 leqslant 2 ) 成立。
（精度还可以继续提高）
……
这其实就是大家计算平方根最常用的方法，即「试乘」。但是计算 ( overline{1.x} ) 的平方，是多位数乘多位数，不好算。而且随着精度增加，越来越难算（(overline{1.414213x}^2) 什么的，想想就要爆炸）。既然硬算不好算，那么就需要技巧。什么技巧呢？我们可以把式子变形一下，来降低运算的规模：
( (1+frac{x}{10})^2 leqslant 2 ) (1)
把完全平方展开，得：
( 1+frac{2x}{10}+frac{x^2}{100} leqslant 2 )
( Leftrightarrow frac{2x}{10}+frac{x^2}{100} leqslant 1 )
( Leftrightarrow 20x+x^2 leqslant 100 )
( Leftrightarrow x(20+x) leqslant 100 )
( Leftrightarrow xcdot overline{2x} leqslant 100 ) (2)
这样，运算规模就从多位数乘多位数降低到了一位数乘多位数，立马好算了许多。
继续提高精度，求百分位上的数字 (y)：
( (1+frac{x}{10}+frac{y}{100})^2 leqslant 2 )
( Leftrightarrow {left [(1+frac{x}{10})+frac{y}{100} ight ]}^2 leqslant 2 )
( Leftrightarrow (1+frac{x}{10})^2+2(1+frac{x}{10})frac{y}{100}+frac{y^2}{10000} leqslant 2 )
( Leftrightarrow 2(1+frac{x}{10})frac{y}{100}+frac{y^2}{10000} leqslant 2-(1+frac{x}{10})^2 )
( Leftrightarrow 2(1+frac{x}{10})frac{y}{100}+frac{y^2}{10000} leqslant 2-(1+frac{2x}{10}+frac{x^2}{100}) )
( Leftrightarrow 2(1+frac{x}{10})frac{y}{100}+frac{y^2}{10000} leqslant 1-(frac{2x}{10}+frac{x^2}{100}) )
( Leftrightarrow 20(10+x)y+y^2 leqslant 100 left [ 100-(20x+x^2) ight ] )
( Leftrightarrow y left [ 20(10+x)+y ight ] leqslant 100 left [ 100-x(20+x) ight ] )
( Leftrightarrow y(20cdot overline{1x}+y) leqslant 100 left [ 100-xcdot overline{2x} ight ] )
( Leftrightarrow y(2cdot overline{1x0}+y) leqslant 100 left [ 100-xcdot overline{2x} ight ] )
( Leftrightarrow ycdot overline{overline{(2cdotoverline{1x})}y} leqslant 100 left [ 100-xcdot overline{2x} ight ] ) (3)
代入 (x=4) 即可求出 (y):
( ycdot overline{28y} leqslant 100 ( 100-4cdot 24 ) ) (4)
我们发现，(3) 式的右侧，出现了与 (2) 式（移项后的一边）相同的部分，这个部分还被乘上了 (100)。而 (3) 式左侧，跟 (2) 式左侧形式相同，都是 未知数 乘以 已得到结果序列的两倍在末尾处添上这个未知数（即帖子中所说「多位数的位数是已开方位数加 1」）。现在，其实已经可以归纳出规律，描述出一个完整的算法了。
但是，这时有些人就会不服：
**，这些破烂式子，都 ** 什么意思啊？*** 为什么要把已得到的结果翻一倍啊？把上一步的不等式两边作差，再乘以 100, 又 ** 是搞什么飞机？
对于这个开方法来说，如果只用代数去推导，确实会让人一头雾水。但是，一但用几何的方法直观地说明一下，这些步骤的意义就会非常明显。看了下面这个几何说明之后，你就会发现，这些看似「无厘头」的步骤，其实都是天经地义的。
看一下这张图（完全平方公式在正数情况下的几何证明）：
（来源：原创 / Public Domain）
再看看这张图：
（来源：Wikipedia）
发现什么了吗？
刚才计算 (sqrt{2}) 近似值的百分位的过程，实际上就是在这个面积为 (2) 的绿色大正方形中，割出一块边长为 ( overline{1.4x} ; (x=0,;1,;2,;cdots 9) ) 的小正方形，使 (x) 最大。而这个小正方形又可以被两条互相垂直的线切成四个部分。其中一个是边长为己经算出来的部分（精确到上一位的结果，即 (1.4)）的正方形（蓝色），剩下的是两个矩形（橙色）和一个正方形（粉色）。
整个小正方形的边长是 ( overline{1.4x} ), 蓝色正方形的边长为 (1.4), 所以橙色矩形的宽就是 ( xcdot 10^{-2} ), 长就是 (1.4), 粉色正方形的边长就是 ( xcdot 10^{-2} ).
现在我们要求这个百分位，实际上就是要让小正方形在大小不超过大正方形的前提下，边长（面积）达到最大。怎么保证面积不超过大正方形呢？我们从大正方形的面积中减去蓝色正方形的面积，使两个橙色矩形和粉色正方形的面积和不超过这个面积差即可，即：
( 2S_{orange}+S_{pink} leqslant S_{green} - S_{blue} )
代入它们的值，可得：
( 2 imes 1.4 cdot (x cdot 10^{-2}) + (x cdot 10^{-2})^2 leqslant 2-1.4^2 )
( Leftrightarrow 2 imes 1.4 cdot (x cdot 10^{-2}) + x^2 cdot 10^{-4} leqslant 2-1.4^2 )
( Leftrightarrow 2 imes 1.4 cdot (x cdot 10^2) + x^2 leqslant 10^4(2-1.4^2) )
( Leftrightarrow 20 imes 14 x + x^2 leqslant 10^4(2-(1+0.4)^2) )
( Leftrightarrow x(280 + x) leqslant 10^4(2-(1+0.8+0.16)) )
( Leftrightarrow x cdot overline{28x} leqslant 10^4(1-0.96) )
( Leftrightarrow x cdot overline{28x} leqslant 10^4(1-0.96) )
( Leftrightarrow x cdot overline{28x} leqslant 100 imes (100-96) )
跟 (4) 式是不是完全一样？所以，这样一解释，那些步骤的意义就很明显了：
- 把 上次的结果 翻一倍，相当于是在求 两个 橙色矩形 的面积。在 ( 20x+x^2 leqslant 100 Leftrightarrow x(20+x) leqslant 100 ) 这个式子中，(20x) 就相当于橙色部分，(x^2) 就相当于粉色部分
- 那个作差操作，相当于从总面积中扣除蓝色的已求部分；再往下算就是再从中扣掉精度提升后蓝色已求部分增加的面积。
- 乘以 100 是因为新的一位比上一位降低了一个数量级，多出来的那三块面积就少了两个数量级。
现在，我们就以计算 ( sqrt{3} )、( sqrt{65536} ) 和 ( sqrt{frac{1}{3}} ) 为例，完整地描述一下这个算法。
例 1 计算 ( sqrt{3} ), 精确到百分位。
首先，在纸上像这样写出被开方数（被开方数的两位对应结果的一位）：
找到结果最高位的值（即，求最大的一位数 (x), 使 ( x^2 leqslant 3 )），写在横线上的对应位置上：
把 (x^2) 写到这一位下面，像做除法那样画道横线，作个差：
把后面两位的一组数拽下来补到刚算出的差后面：
把已经算出的结果翻倍（如果有小数点的话，还要去掉小数点），写在一旁：
前面添上一条横线和一个乘号，后面添上一条横线和一个小于等于号，得到一个不等式：
在每条横线上填一个尽量大的一位数（两条横线上是同一个数），同时保证不等式成立：
把这个一位数写在上面作为结果：
把乘法的结果写在下面（7×27=189），继续作差：
重复上述过程，直到达到所需精度：
……
例 2 计算 ( sqrt{65536} ).
与例 1 不同的是，这次最后一个不等式是正好取得等号的。取得等号，就说明得数已经是精确结果，不用再往下算了。
例 3 计算 (sqrt{frac{1}{3}}), 精确到千分位。
先把 (frac{1}{3}) 转换为无限小数 (0.333cdots)，再开方：
就跟帖子里说的一样，对无限小数开方，运算量不会增大（跟有限小数的计算步骤是完全一样的）。