先来一个不等式：
1.
( left | sin{ heta} ight | + left | cos{ heta} ight | geqslant 1 )
当图中三角形不能构成时，等号成立。
再来几个等式：
2.
( an{frac{ heta}{2}} = frac{sin{ heta}}{1+cos{ heta}}=frac{1-cos{ heta}}{sin{ heta}} )
这张图只说明了 ( heta) 为锐角时，上述公式成立。但实际上该公式对任意角 ( heta) 都成立（可以用「万能公式」直接导出）。
3.
( sec^2{ heta} = 1 + an^2{ heta} )
(csc^2{ heta} = 1 + cot^2{ heta})
一图胜千言（图形还是只限于锐角，不过严格证明（推广）很容易，这里就不再赘述）。
4. 和角公式（锐角限定，容易推广）：
( sin{(alpha+eta)} = sin{alpha}cos{eta} + cos{alpha}sin{eta} )
( cos{(alpha+eta)} = cos{alpha}cos{eta} - sin{alpha}sin{eta} )
( an{(alpha+eta)} = frac{ an{alpha}+ an{eta}}{1- an{alpha} an{eta}} )
（图片来源：Wikipedia）
（图片来源：Wikipedia）
差角公式如法炮制即可。
参考：
trigonometry - Intuition of Addition Formula for Sine and Cosine - Mathematics Stack Exchange