洛谷P3008 [USACO11JAN]Roads and Planes G

 

 

思路分析：

解法一：

　　由于这道题提到可能有负权边，那么dijsktra算法肯定首先就被我们排除了，floyd？想都不要想，最后我们只剩下了Spfa，但众所周知，USACO是卡Spfa的，但似乎没有其他的解法了，于是我们就可以像一道最短路板子题一样建图，从起点出发，跑一遍Spfa，交上去，果不其然，TLE掉了两个点。但也只有两个点，于是我们想到用SLF去优化它，所谓SLF，就是在Spfa入队时拿将要入队的数和队首元素比较，如果比队首元素小则插入队首，否则插在対尾，于是用到双端队列，每次入队前判断一下就好了。这样我们就可以在开O₂的前提下水过这道题了，但不开O₂还是会TLE掉一个点，其实这道题只是不想卡SLF，但SLF优化并没有基于复杂度，实际上可以构造数据来卡到2^n，甚至可能比普通spfa更慢（以上一句话来自洛谷大佬（id：1010_）），但既然能过，也是一种方法。

上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define debug printf("------------
");
const int N=1e6+10;
int Head[N],tot,T,P,R,S,dis[N],vis[N];
struct Node{
    int next,to,dis;
}edge[N];
void Add(int x,int y,int z){
    edge[++tot].to=y;
    edge[tot].next=Head[x];
    edge[tot].dis=z;
    Head[x]=tot;
}
void Spfa(int x){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    deque<int>q;    //只有这里不同,其他都是板子 
    q.push_back(x);vis[x]=1;dis[x]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop_front();
        for(int i=Head[u];i;i=edge[i].next){
            int v=edge[i].to;vis[u]=0;
            if(dis[v]>dis[u]+edge[i].dis){
                dis[v]=dis[u]+edge[i].dis;
                if(!vis[v]){
                    if(!q.empty()&&dis[v]>=dis[q.front()])
                        q.push_back(v);
                    else q.push_front(v);
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
//    freopen("a.txt","r",stdin);
//    freopen("my.txt","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&T,&R,&P,&S);
    for(int i=1;i<=R;++i){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Add(x,y,z);Add(y,x,z);
    }
    for(int i=1;i<=P;++i){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Add(x,y,z);
    }
    Spfa(S);
    for(int i=1;i<=T;++i){
        if(dis[i]==0x3f3f3f3f)
            printf("NO PATH
");
        else printf("%d
",dis[i]);
    }
    return 0;
}

解法二：

　　虽然这道题明确说了会有负权，但那只是单向航道，双向的道路的权值仍然都是正值，所以在双向的道路内是符合dijsktra的使用前提的，于是我们想到缩点，我们可以把所有权值为正且相邻的点块缩在一起，这样就形成了一个DAG之后用拓扑排序在DAG上求解即可。需要注意的是，需要将不能互通的两点间距离初始化为一个很大的数，并在拓扑时要将所有入度为0的点算进去，防止出现不互达的情况。有了思路代码就不难写了，这样写能比解法一的时间快4倍左右。

向量是真的难用调的我都要吐了

上代码：

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int T,R,P,S;
int Head[N],tot,indeg[N];  //indeg表示节点入度个数 
struct Node{
    int next,to,dis;
    bool c;   //c用来表示该边是双向路径还是单向航道 
}edge[N];
vector<int>ve[N];  //存储缩点后新节点编号所包含的节点编号 
void Add(int x,int y,int z,int c){
    edge[++tot].to=y;
    edge[tot].next=Head[x];
    edge[tot].dis=z;
    edge[tot].c=c;
    Head[x]=tot;
}
int vis[N],belong[N],sum,dis[N];
void dfs(int u,int num){  //缩点 
    vis[u]=1;
    ve[num].push_back(u);
    belong[u]=num;
    for(int i=Head[u];i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if(!edge[i].c) continue;
        if(!vis[v]) dfs(v,num);
    }
}
struct Edge{
    int num,dis;
    Edge(int a,int b){
        num=a;dis=b;
    }
    bool operator < (const Edge& a)const{
        return a.dis<dis;
    } 
};
priority_queue<Edge>q;  //用于dijsktra计算 
queue<int>Q;    //用于计算拓扑 
void Topo_dijs(int x){   //拓扑和dijsktra结合 
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=sum;++i){
        if(!indeg[i]) Q.push(i);  //所有入度为0的点进行拓扑 
    }
    dis[x]=0;
    while(!Q.empty()){   //拓扑更新联通块 
        int k=Q.front();Q.pop();
        for(int i=0;i<ve[k].size();++i)
            if(dis[ve[k][i]]<0x3f3f3f3f) 
                q.push(Edge(ve[k][i],dis[ve[k][i]])); //找起点 
        while(!q.empty()){   //对联通块内节点dijsktra
            Edge u=q.top();q.pop();
            //printf("%d
",u.dis);
            if(vis[u.num]) continue;
            vis[u.num]=1;
            for(int i=Head[u.num];i;i=edge[i].next){
                int v=edge[i].to;
                if(edge[i].c&&dis[v]>dis[u.num]+edge[i].dis){
                    dis[v]=dis[u.num]+edge[i].dis;
                    q.push(Edge(v,dis[v]));
                }
                else if(!edge[i].c){  //遍历到另一个联通块更新即可,无须入队 
                    dis[v]=min(dis[v],dis[u.num]+edge[i].dis);
                }
            }
        }
        for(int j=0;j<ve[k].size();++j)  //更新下一个联通块 
        for(int i=Head[ve[k][j]];i;i=edge[i].next){
            int v=edge[i].to;
            if(edge[i].c) continue;
            if(--indeg[belong[v]]==0)
                Q.push(belong[v]);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&T,&R,&P,&S);
    for(int i=1;i<=R;++i){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Add(x,y,z,1);Add(y,x,z,1);
    }
    for(int i=1;i<=P;++i){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Add(x,y,z,0);
    }
    for(int i=1;i<=T;++i){  //割点 
        if(!vis[i]) dfs(i,++sum);
    }
    for(int j=1;j<=T;++j)
    for(int i=Head[j];i;i=edge[i].next){
        if(edge[i].c) continue;  //是缩点后的拓扑故双向路径不算 
        indeg[belong[edge[i].to]]++;
    }
    Topo_dijs(S);
    for(int i=1;i<=T;++i){  //统计答案 
        if(dis[i]==0x3f3f3f3f)
            printf("NO PATH
");
        else printf("%d
",dis[i]);
    }
    return 0;
}