节点型限制器
此节点型限制器参考自 Kuzmin (2010) [1]研究，其主要通过修正 Barth-Jespersen 限制器，使单元内数值解满足
[u_e^{min} le u(mathbf{x}_i)le u_e^{max}, quad forall i
]
修正后的数值解形式为
[u_h(mathbf{x}_i) = u_c + alpha_e (
abla u)_ ccdot(mathbf{x}_i - mathbf{x}_c), quad 0 le alpha_c le 1, mathbf{x} in Omega_e
]
其中(alpha_e)为斜率限制器，其计算公式为
[alpha_e = min_i left{ egin{matrix}
minleft{ 1, frac{u_e^{max} - u_c}{u_i - u_c}
ight}, & u_i - u_c > 0 cr
1, & u_i - u_c = 0 cr
minleft{ 1, frac{u_e^{min} - u_c}{u_i - u_c}
ight}, & u_i - u_c < 0 cr
end{matrix}
ight.]
这里 (u_i = u_c + ( abla u)_ ccdot(mathbf{x}_i - mathbf{x}_c)) 为未限制过的原始解。
Kuzmin (2010) 主要对 (u_e^{max}) 与 (u_e^{min}) 的选取做了修正。传统的 BJ 斜率限制器中，(u_e^{max}) 与 (u_e^{min}) 通常选择 (Omega_e) 的 van Neumann 相邻单元（图中蓝色区域）中最大与最小单元均值。但是在 Kuzmin 的方法中， 针对网格中每个顶点（黑色）都对应一组 (u_i^{max}) 与 (u_i^{min}) 的值，其包含了所有与顶点 (mathbf{x}_i) 相邻单元中最大与最小均值，即
[u_i^{max}=maxleft{ u_c, u_i^{max}
ight}, quad u_i^{min}=minleft{ u_c, u_i^{min}
ight}
]
KUZMIN D. A vertex-based hierarchical slope limiter for p-adaptive discontinuous Galerkin methods[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, Elsevier B.V., 2010, 233(12): 3077–3085. ↩︎