拉普拉斯分布的随机数

一、功能

产生拉普拉斯分布的随机数。

二、方法简介

1、产生随机变量的组合法

将分布函数(F(x))分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合

[F(x)=sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x) ]

其中 $ p_{i}> 0 (forall i) $ ，且 $ sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 $ ，(F(x))是分布函数。

定理 若随机变量(xi sim s)离散分布(left { p_{i} ight })，即(P(xi =i)=p_{i})，并且(z sim F_{xi }(x))，取(z=x)，则(z sim F(x) = sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x))

证明 (z)的分布函数为

[P(z leqslant t) = P((z leqslant t) cap igcup_{i=1}^{K}( xi = i)) \ = sum_{i=1}^{K}P(z leqslant t, xi =i) \ = sum_{i=1}^{K}P(xi = i)P(z leqslant t mid xi =i) \ = sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(t)=F(t) ]

定理证毕。

根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下：

1. 产生一个正随机数(xi)，使得(P(xi = i) = p_{i} (i = 1,2,...,K))；
2. 在(xi = i)时，产生具有分布函数(F_{i}(x))的随机变量(x)。

该算法中首先以概率(p_{i})选择子分布函数(F_{i}(x))，然后取(F_{i}(x))的随机数作为(F(x))的随机数。

2、产生拉普拉斯分布随机数的方法

拉普拉斯分布的概率密度函数为

[f(x) = frac{1}{2eta }e^{-frac{left | x ight |}{eta }} ]

Laplace分布的均值为0，方差为(2eta ^{2})。拉普拉斯分布也称为双指数分布。

根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为：

1. 产生均匀分布的随机数(u_{1})和(u_{2})，即(u_{1},u_{2} sim U(0,1))；
2. 计算(x = left{egin{matrix} -eta ln(1 - u_{1}) & u_{1} leqslant 0.5 \ eta ln(u_{2}) & u_{2} > 0.5 end{matrix} ight.)

三、使用说明

使用C语言实现产生拉普拉斯分布随机数的方法：

#include "math.h"
#include "uniform.c"

double laplace(double beta, long int *s)
{
	u1 = uniform(0.0, 1.0, s);
	u2 = uniform(0.0, 1.0, s);
	if(u1 <= 0.5)
		x = -beta * log(1.0 - u2);
	else
		x = beta * log(u2);
	return(x);
}

uniform.c文件参见均匀分布的随机数