《数据结构与算法之美》26——广度优先搜索与深度优先搜索

什么是搜索算法

上一节介绍了图的基本概念，这一节介绍图的搜索算法。

图的搜索算法，最直观的理解就是从一个顶点到另一个顶点的路径。

最简单的是广度优先搜索和深度优先搜索，这也是这一节介绍的内容。另外还有A*、IDA*等启发式搜索算法。

本节内容以无向图为例，以下代码是图的代码实现。

// 无向图
class Graph
{
    private int v;  // 顶点个数

    private LinkedList<int>[] adj; // 邻接表

    public Graph(int v)
    {
        this.v = v;
        adj = new LinkedList<int>[v];

        for (int i = 0; i < v; i++)
        {
            adj[i] = new LinkedList<int>();
        }
    }

    public void AddEdge(int s, int t)
    {
        // 无向图，一条边要存两次
        adj[s].AddLast(t);
        adj[t].AddLast(s);
    }
}

广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth-First-Search），简称BFS。一种“地毯式”的搜索策略，即先搜索跟起始点最近的顶点，慢慢往外扩散搜索。

代码实现如下：

public void BFS(int s, int t)
{
    if (s == t) return; // 起始点和终止点相同，直接返回。

    Queue<int> queue = new Queue<int>();  // 
    bool[] visited = new bool[v];   // 用于记录顶点是否被访问过。
    visited[s] = true;

    int[] prev = new int[v];  // 记录当前顶点的前置顶点
    for (int i = 0; i < v; i++)
    {
        prev[i] = -1;
    }

    queue.Enqueue(s);

    while (queue.Count > 0)
    {
        // 下一层入队
        int w = queue.Dequeue();

        var head = adj[w].First;

        while (head != null)
        {
            int q = head.Value;

            if (!visited[q])
            {
                prev[q] = w;
                if (q == t)
                {
                    Print(prev, s, t);
                    return;
                }
                visited[q] = true;
                queue.Enqueue(q);
            }

            head = head.Next;
        }
    }
}

private void Print(int[] prev, int s, int t)
{
    if (prev[t] != -1 && t != s)
        Print(prev, s, prev[t]);

    Console.Write(t + " ");
}

通过下图来介绍BFS是如何执行的。

时间复杂度分析：

• 时间复杂度：O(E)。E表示图的边数
• 空间复杂度：O(V)。V表示图的顶点数

深度优先搜索

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称DFS。最直观的例子是“走迷宫”，往最里面走，遇到分叉路先走一边然后再退回来走另一边，直到走到终点。

代码实现如下：

public void DFS(int s, int t)
{
    found = false;

    bool[] visited = new bool[v];
    int[] prev = new int[v];
    for (int i = 0; i < v; i++)
    {
        prev[i] = -1;
    }

    RecurDfs(s, t, visited, prev);
    Print(prev, s, t);
}

private void RecurDfs(int w, int t, bool[] visited, int[] prev)
{
    if (found) return;

    visited[w] = true;

    if (w == t)
    {
        found = true;
        return;
    }

    var head = adj[w].First;
    while (head != null)
    {
        int q = head.Value;
        if (!visited[q])
        {
            prev[q] = w;
            RecurDfs(q, t, visited, prev);
        }

        head = head.Next;
    }
}

时间复杂度分析：

• 时间复杂度：O(E)。E表示图的边数
• 空间复杂度：O(V)。V表示图的顶点数

案例分析

如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系？

社交网络可以用图来表示，找出某个用户的三度好友，即是从某个顶点（某个用户）走三步到达的顶点（三度好友）。

可使用BFS或DFS来实现，增加一个值来保存好友是第几度的，遍历过程里把度分别为1、2、3的顶点保存到结果集里。