关于码间串扰（转载）

　根据上节对码间串扰的讨论，我们可将无码间串扰对基带传输系统冲激响应h（t）的要求概括如下：
　　 （ 1 ）基带信号经过传输后在抽样点上无码间串扰，也即瞬时抽样值应满足

          　　　　                                （ 4-18 ）

　　（ 2 ） 尾部衰减要快。

　　 式（ 4-18 ）所给出的无码间串扰条件是针对第 个码元在 时刻进行抽样判决得来的。 是一个时延常数，为了分析简便起见，假设 ，这样无码间串扰的条件变为

                                   

　　令 ，并考虑到 也为整数，可用 表示，得无码间串扰的条件为

         　　　                                         （ 4-19 ）

　　式（ 4-19 ）说明，无码间串扰的基带系统冲激响应除 时取值不为零外，其它抽样时刻 上的抽样值均为零。习惯上称式（ 4-19 ）为无码间串扰基带传输系统的时域条件。
　　 能满足这个要求的 是可以找到的，而且很多，拿我们比较熟悉的抽样函数来说，就有可能满足此条件。比如图 4-13 所示的 曲线，就是一个典型的例子。

图 4-13 的曲线

　　上面给出了无码间串扰对基带传输系统冲激响应 的要求，下面着重讨论无码间串扰对基带传输系统传输函数 的要求以及可能实现的方法。为方便起见，我们从最简单的理想基带传输系统入手。( 点击此处观看flash)

4.3.1 理想基带传输系统

　　理想基带传输系统的传输特性具有理想低通特性，其传输函数为

         　　  　             　　                  （ 4-20 ）

　　如图 4-14 （ a ）所示，其带宽 （ Hz ）。对其进行傅氏反变换得

                                      

                                                                 （ 4-21 ）

　　它是个抽样函数，如图 4-14 （ b ）所示。从图中可以看到， 在 时有最大值 ，而在 （ 为非零整数）的各瞬间均为零。显然，只要令 =1/ ，也就是码元宽度为 ，就可以满足式（ 4-19 ）的要求，接收端在 时刻（忽略 造成时间延迟）的抽样值中无串扰值积累，从而消除码间串扰。

 

图 4-14 理想基带传输系统的 和 

　　从上述分析可见，如果信号经传输后整个波形发生变化，但只要其特定点的抽样值保持不变，那么用再次抽样的方法，仍然可以准确无误地恢复原始信码。这就是所谓的奈奎斯特第一准则的本质。
　　 在图 4-14 所表示的截止频率为 的理想基带传输系统中， 为系统传输无码间串扰的最小码元间隔，称为奈奎斯特间隔。相应地，称 为奈奎斯特速率，它是系统的最大码元传输速率。
　　 反过来说，输入序列若以 的码元速率进行无码间串扰传输时，所需的最小传输带宽为 1/2 （ Hz ）。通常称 1/2 为奈奎斯特带宽。
下面再来看看频带利用率的问题。所谓频带利用率 是指码元速率 和带宽 的比值，即单位频带所能传输的码元速率，其表示式为

                                     （ Baud/Hz ）                     （ 4-22 ）

　　 显然，理想低通传输函数的频带利用率为 2 Baud/Hz 。这是最大的频带利用率，因为如果系统用高于 的码元速率传送信码时，将存在码间串扰。若降低传码率，即增加码元宽度 ，使之为 的整数倍时，由图 4-14 （ b ）可见，在抽样点上也不会出现码间串扰。但是，这时系统的频带利用率将相应降低。
　　 从前面讨论的结果可知，理想低通传输函数具有最大传码率和频带利用率，十分美好。但是，理想基带传输系统实际上不可能得到应用。这是因为首先这种理想低通特性在物理上是不能实现的；其次，即使能设法接近理想低通特性，但由于这种理想低通特性冲激响应 的拖尾（即衰减型振荡起伏）很大，如果抽样定时发生某些偏差，或外界条件对传输特性稍加影响，信号频率发生漂移等都会导致码间串扰明显地增加。
　　 下面，进一步讨论满足（ 4-19 ）式无码间串扰条件的等效传输特性，以助于建立实际的无码间串扰基带传输系统。

4.3.2 无码间串扰的等效特性

　　因为

    　　　　　　　　　　　　　       　

　　把上式的积分区间用角频率 等间隔分割，如图 4-15 所示，则可得

                                    

　　作变量代换：令 ，则有 及 。于是

      

      

　　当上式之和为一致收敛时，求和与积分的次序可以互换，于是有

                                　　      （ 4-23 ）

　　这里我们把变量 重记为 。式中， ， 的物理意义 是：把 的分割各段平移到 的区间对应叠加求和，我们把它简称 为 “切段叠加” 。显然，它仅存在于 内，具有低通特性。

令

                        　　          　             （ 4-24 ）

则 就是 的 “切段叠加” ，我们称 为等效传输函数。将其代入（ 4-23 ）式，得                                                   （ 4-25 ）

　　在理想低通传输系统中，由式（ 4-21 ），有

                                    

　　当 时

                         　                                 （ 4-26 ）

　　此时是无码间串扰的。
 　 把式（ 4-25 ）与理想低通的表示式（ 4-26 ）作比较可知，如果式（ 4-25 ）要满足无码间串扰，则要求 

                               　　　　　　（ 4-27 ）

　　式（ 4-27 ）就是无码间串扰的等效特性。它表明，把一个基带传输系统的传输特性 等间隔分割为宽度，若各段在 区间内能叠加成一个矩形频率特性，那么它在以 速率传输基带信号时，就能做到无码间串扰。习惯上称式（ 4-27 ）为无码间串扰基带传输系统的频域条件。
　　 由式（ 4-27 ）可知，如果不考虑系统的频带限制，仅从消除码间串扰来说，基带传输特性 的形式不是唯一的。

4.3.3 实用的无码间串扰基带传输特性

　　考虑到理想冲激响应 的尾巴衰减很慢的原因是系统的频率特性截止过于陡峭，这可以启发我们按图 4-16 所示的构造思想去设计 的特性，即把 视为对截止频率为 的理想低通特性 按 的特性进 行 “圆滑” 而得到的，即                                

                                              

　　根据式（ 4-27 ）无码间串扰基带传输系统的频域条件，不难看出，只要H1(ω)对于W1具有奇对称的幅度特性，则H(ω)即无码间串扰。这里， ＝ ，相当于角频率为 。
　　 上述的 “圆滑”，通常被称为“滚降”。 滚降特性 的上、下截止频率分别为 。定义滚降系数为                                        

                                 （ 4-28 ）

　　显然， 。

图 4-16 滚降特性的构成（仅画出正频率部分）

　　可根据实际需要进行选择，以构成不同的实际系统。常见的有直线滚降、三角形滚降、升余弦滚降等。下面以用的最多的余弦滚降特性为例作进一步的讨论。
　　 图 4-17 显示了不同 时的余弦滚降特性，图中 ＝ 。

　（ a ）传输特性 （仅画出正频率部分） （ b ）冲激响应

图 4-17 余弦滚降传输特性

 

　   时，无滚降，此时的余弦滚降传输特性 就是截止频率为 的理想低通特性 。
　　 时， 就是实际中常采用的升余弦滚降传输特性，可用下式表示

                                      （ 4-29 ）

　　相应地， 为

                                             （ 4-30 ）

　　应该注意，此时所形成的 波形，除在 时刻上幅度为零外，在 这些时刻上其幅度也是零。
　 当 取一般值时，余弦滚降传输特性 可表示为

    　　   　　             （ 4-31 ）

　　它所对应的冲激响应为

                                        （ 4-32 ）

　　显见，其在码元传输速率为 时无码间串扰。

　　由以上关于余弦滚降传输特性的分析，结合图 4-17 给出的不同 时余弦滚降特性的频谱和波形，不难得出：
　 （ 1 ）当 时，为 无 “滚降”的理想基带传输系统， 的“尾巴” 按 的规律衰减。当 ，即采用余弦滚降时，对应的 仍旧保持从 开始，向左、右每隔 出现一个零点的特点，满足抽样瞬间无码间串扰的条件，但式（ 4-32 ）中第二个因子 对波形的衰减速度是有很大影响的。一方面， 的存在，会产生新的零点，加速 的 “尾巴”衰减；另 一方面， 波形的 “尾巴”按 的规律衰减，比理想低通时小得多。 衰减的快慢还与 有关， 越大，衰减越快，码间串扰越小，错误判决的可能性越小。
　 （ 2 ）输出信号频谱所占据的带宽 。当 时， ，频带利用率为 2Baud/Hz ； 时， ，频带利用率为 1Baud/Hz ；一般情况下， =0 ～ 1 时， ，频带利用率为 2 ～ 1Baud/Hz 。可以看出 越大， “尾部” 衰减越快，但带宽越宽，频带利用率越低。因此，用滚降特性来改善理想低通，实质上是以牺牲频带利用率为代价换取的。
　　 余弦滚降特性的实现比理想低通容易得多，因此广泛应用于频带利用率不高，但允许定时系统和传输特性有较大偏差的场合。