10674 等差对
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题型: 编程题 语言: 无限制
Description
今天是一个特别的日子，百年一遇的光棍节，2011.11.11，xym收到一个装着礼物的信封，是一位mm的XX书，里面是两个棒棒糖和一封信。
信里是一道智力题：
定义如果<x0,y0>和<x1,y1>满足x0-x1=y0-y1，则称这两个为等差对。
mm的问题是，问在<x,y>（0<=x,y<=n）<0,0>,<0,1>…<1,0>,<1,1>…<2,0>,
<2,1>…<n,0>…<n,1>…这(n+1)^2个有序对中存在多少个等差对？
但是xym因为昨晚听他们班的女生唱歌太晚睡觉了，严重影响状态，现在他只能请求各位scau未来的希望帮助他解决这个问题。
Input
第一行输入一个整数T(T<=1000)，表示case数。
下面T行有T个case，每个case只有一个整数n（1<=n<=10^9），表示0<=x,y<=n;但是由于测试的时候发现用scanf("%lld",&n)有bug，所以为了修正这个bug，请各位用long long读入的同学在读入前先赋0给变量，
例如 long long n=0; scanf("%lld",&n);
Output
每个case输出一行,表示等差对的数量，这个结果可能很大，只需最后结果%20111111即可。
Sample Input
2 2 100
Sample Output
5 338350
Hint
注意不要让数据溢出，及时取模的处理
Source
by 201030720425
Provider
admin
#include<stdio.h> int main() { long long n = 0, res = 0; long long a, b, c; int T; scanf("%d", &T); while(T--) { res = 0; n = 0; scanf("%lld", &n); a = n, b = n + 1, c = 2 * n + 1; if (a%2 == 0) a /= 2; else b/=2; if (a%3 == 0) a /= 3; else if (b%3 == 0) b /= 3; else c /= 3; res = (((a*b)%20111111*c)%20111111 - ((n+2)*(n-1))/2 - 1)%20111111; res = (res + ((n+1)*n)/2)%20111111; printf("%lld\n", res%20111111); } return 0; }
解题思路：
Xo – Yo = X1 – Y1 -> Xo + Y1 = X1 + Yo 即 ： X0 + Y0 = X1 + Y1；
所以可以转化成函数的形式 F = X + Y;
输入一个数n ,(1<=n <= 10^9)
令 n = X+Y; 比如我取 n = 5 则用坐标表示即为图中红色的线， X , Y 的取值有0，1,
2, 3, 4 , 5
线上共有6个点， 可以有C 6 取 2， 得到 6*5/2 = 15种可能
同理，
在 5 = X+Y 上有 C 5 取 2， 得到 5*4/2 = 10 种可能
在 4 = X+Y 上有 C4 取 2， 得到 4*3/2 = 6 种可能
……
……
累加有 (5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1)/2 + 6*5/2
可以看到 以 6 =X+Y 为界限，上下方相同， 所以最终累加有：
(5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1)/2 *2 + 6*5/2
（因为形成的都是正方形，所以没有上下不相等的可能）
可以推出公式为: (输入n)
n*(n-1) + (n-1)*(n-2) + …… + 2*1 + (n+1)*n/2 =
n^2 – n + (n-1)^2 – (n-1) + …… + 2^2 – 2
因为： 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + …… + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6
2+3+4+5+ …… +n = (n+2)*(n-1)/2
由此得出代码中的式子……
//至于这里为什么能这样写，我的理解是： a和b中有一个是偶数，理所当然其一能被2整除
//如果a，b不能被3整除，那么应该能够知道 三个连续的正整数中一定有一个能被3整除，
//对于n(>=2)来说，n和n+1不能被3整除，那么n-1和n+1一定能被3整除，
//而2*n+1 = n-1 + n+1， 所以a，b，c中一定有一个数能被3整除！
//这也许就是n*(n+1)*(2n+1)%6 == 0 屹立不倒的原因吧。
残余问题：
公式的使用：(a*b)%c = ((a%c)*(b%c))%c
运算规则：
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
ab % p = ((a % p)b) % p
（4）
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配律：
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
