HDU ACM 1134 Game of Connections / 1130 How Many Trees?（卡特兰数）

【题目链接】http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1134

【解题背景】这题不会做，自己推公式推了一段时间，将n=3和n=4的情况列出来了，只发现第n项与第n-1项有关系，上网搜索的时候发现是组合数学中关于Catalan（卡特兰）数的运用.

以下资料来自网络，整理以备记录学习：

【来源链接】

http://baike.baidu.com/view/2499752.htm

http://blog.163.com/lz_666888/blog/static/1147857262009914112922803/

Catalan序列是一个整数序列，其通项公式是   我们从中取出的Cn就叫做第 n 个 Catalan 数，前17个 Catalan 数分别是：

1,  1,  2,  5,  14,  42,  132,  429,  1430,  4862,  16796,  58786,  208012,  742900,  2674440,  9694845,  35357670

令h(0) = 1,h(1) = 1，catalan 数满足递推式:

h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

另类递归式：

h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

该递推关系的解为：

h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

Catalan序列主要有几类运用：

1.括号化问题：

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

2.出栈次序问题：

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题：

将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?（也就是本题）

4.给顶节点组成二叉树的问题：

给定n个节点，能构成多少种不同的二叉树？

（能构成h（n）个,这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

 【随笔】：本来知道这个公式之后想打表打出100个Catalan数，将公式化简了一下且用代码尝试了一下：

        if(n == 1 || n == 2){
            printf("1
");
            continue;
        }
        int sum = 1;
        for(int t=2*n-1; t>n+1; t-=2)
            sum *= t;
        //func(int m)函数求m的阶乘，func_pow(int a, int b) 函数求a的b次方 
        printf("%d
", sum*func_pow(2, n/2)/func(n/2+n%2));

后来发现这也是大数处理的问题，翻看之前自己写的大数相乘和大数相除的代码，发现写的很吃力，干脆上网找大数处理的若干代码，发现可以很简单的进行大数相乘及大数相除，即为现在的Ac源代码中的大数处理

源码来自：http://blog.163.com/lz_666888/blog/static/1147857262009914112922803/

#include<iostream>
#define MAX 100
#define BASE 10000

using namespace std;

void multiply(int a[],int Max,int b) //大数乘法,注意参数的传递
{
    int i,array=0;
    for (i = Max-1; i >= 0; i--)
    {
        array += b * a[i];
        a[i] = array % BASE; // 数组每一位存放大数的四位数字
        array /= BASE;   
    }
    return;
}

void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大数除法
{
    int i, div = 0;
    for (i = 0; i < Max; i++)   
    {
        div = div * BASE + a[i];
        a[i] = div / b;
        div %= b;
    }
}
int main()
{
    int a[101][MAX],i, n;
    memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));
    for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大数低位
    {
        memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int));      //h[i] = h[i-1];
        multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2);               //h[i] *= (4*i-2);
        divide(a[i], MAX, i + 1);                  //h[i] /= （i+1）;
    }
    while (cin >> n && n != -1)   
    {
        for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。
        cout << a[n][i++];             //输出第一个非0数
        for (; i < MAX; i++)   
        {
            printf("%04d",a[n][i]);       //输出后面的数，并每位都保持4位长度!(32767)
           }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}