3． 最优贸易
(trade.pas/c/cpp)
【问题描述】
C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间 多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。
C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并 终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他 喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行 多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。
阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3 号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。
阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他 多能赚取多少旅费。
【输入】
输入文件名为 trade.in。
第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。
接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。
【输出】
输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示 多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 0。
【输入输出样例】
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trade.in |
trade.out |
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5 5 4 3 5 6 1 1 2 1 1 4 1 2 3 2 3 5 1 4 5 2 |
5 |
【数据范围】输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。
对于 10%的数据，1≤n≤6。
对于 30%的数据，1≤n≤100。
对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。
对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市水晶球价格≤100。
【思路】
本题可以概括为求1-n的一条路，使得路上的max-min最大，但max必须在min之后。
刚开始用dfs解，忽略了max与min的先后关系。而又因为本题可以出现环，所以不能用dfs。
本题可以用两边SPFA完成（较dfs而言SPFA是更新），第一次计算每个节点到1路径上的min，第二次计算每个节点到n路径上的max。ans=max{max[i]-min[i]}
然而还有更优的算法，只进行一次SPFA，维护_min[v]代表到v包含v的路上的最小值，维护f[v]代表到v包含v的路上的p-min所得的最大值。注意更新条件。
【代码1】
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<fstream> 5 #include<vector> 6 #include<queue> 7 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++) 8 using namespace std; 9 10 const int maxn = 100000+10; 11 const int INF=1<<30; 12 vector<int> Gto[maxn],Gbac[maxn]; 13 int n,m,p[maxn],_min[maxn],_max[maxn]; 14 15 void SPFA_min(int s,int* d) { 16 int inq[maxn]; fill(inq,inq+n+1,0); 17 queue<int> Q; 18 fill(d,d+n+1,INF); 19 d[s]=p[s]; inq[s]=1; 20 Q.push(s); 21 while(!Q.empty()) { 22 int u=Q.front();Q.pop(); inq[u]=0; 23 for(int i=0;i<Gto[u].size();i++) { 24 int v=Gto[u][i]; 25 if(min(d[u],p[v])<d[v]) { 26 d[v]=min(d[u],p[v]); 27 if(!inq[v]) { 28 inq[v]=1; Q.push(v); 29 } 30 } 31 } 32 } 33 } 34 void SPFA_max(int s,int* d){ 35 int inq[maxn]; fill(inq,inq+n+1,0); 36 queue<int> Q; 37 d[s]=p[s]; inq[s]=1; 38 Q.push(s); 39 while(!Q.empty()) { 40 int u=Q.front();Q.pop(); inq[u]=0; 41 for(int i=0;i<Gbac[u].size();i++) { 42 int v=Gbac[u][i]; 43 if(max(d[u],p[v])>d[v]) { 44 d[v]=max(d[u],p[v]); 45 if(!inq[v]) { 46 inq[v]=1; Q.push(v); 47 } 48 } 49 } 50 } 51 } 52 inline void AddEdge(int u,int v) { 53 Gto[u].push_back(v); 54 Gbac[v].push_back(u); 55 } 56 int main() { 57 scanf("%d%d",&n,&m); 58 FOR(i,1,n) scanf("%d",&p[i]); 59 FOR(i,1,m) { 60 int u,v,z; 61 scanf("%d%d%d",&u,&v,&z); 62 AddEdge(u,v); 63 if(z==2) AddEdge(v,u); 64 } 65 SPFA_min(1,_min); 66 SPFA_max(n,_max); 67 int ans=0; 68 FOR(i,1,n) if(_max[i]&&_min[i]<INF) ans=max(ans,_max[i]-_min[i]); 69 cout<<ans; 70 return 0; 71 }
【代码2】
1 #include<cstdio> 2 #include<vector> 3 #include<queue> 4 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++) 5 using namespace std; 6 7 const int maxn = 100000+10; 8 const int INF=1<<30; 9 vector<int> G[maxn]; 10 int n,m,p[maxn],f[maxn],_min[maxn]; 11 12 void SPFA(int s) { 13 int inq[maxn]; fill(inq,inq+n+1,0); 14 queue<int> Q; 15 fill(_min,_min+n+1,INF); 16 _min[s]=p[s]; inq[s]=1; 17 Q.push(s); 18 while(!Q.empty()) { 19 int u=Q.front();Q.pop(); inq[u]=0; 20 for(int i=0;i<G[u].size();i++) { 21 int v=G[u][i]; 22 if(min(_min[u],p[v])<_min[v] ||f[v]<p[v]-_min[v]|| f[v]<f[u] ) { 23 //注意判断条件 只要可以更新v结点 24 _min[v]=min(_min[v],min(_min[u],p[v])); 25 f[v]=max(f[v],p[v]-_min[v]); 26 f[v]=max(f[v],f[u]); 27 if(!inq[v]) { 28 inq[v]=1; Q.push(v); 29 } 30 } 31 } 32 } 33 } 34 35 int main() { 36 freopen("trade.in","r",stdin); 37 freopen("trade.out","w",stdout); 38 scanf("%d%d",&n,&m); 39 FOR(i,1,n) scanf("%d",&p[i]); 40 FOR(i,1,m) { 41 int u,v,z; 42 scanf("%d%d%d",&u,&v,&z); 43 G[u].push_back(v); 44 if(z==2) G[v].push_back(u); 45 } 46 SPFA(1); 47 printf("%d",f[n]); 48 return 0; 49 }