NOIP2007 矩阵取数游戏

3. 矩阵取数游戏

(game.pas/c/cpp)

【问题描述】

    帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素 a^ij 均

为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。m 次后取完矩阵所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值*2i，其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为 m 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

【输入】

    输入文件game.in包括 n+1 行：

    第 1 行为两个用空格隔开的整数 n 和 m。

    第 2~n+1 行为 n*m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。

【输出】

    输出文件game.out仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

【输入输出样例1】

game.in	game.out
2 3 1 2 3 3 4 2	82

【输入输出样例1解释】

第 1 次：第 1 行取行首元素，第 2 行取行尾元素，本次得分为 1*21+2*21=6

第 2 次：两行均取行首元素，本次得分为 2*22+3*22=20

                 3    3

第 3 次：得分为 3*2 +4*2 =56。_总得分为 6+20+56=82

【输入输出样例2】

game.in	game.out
1 4 4 5 0 5	122

【输入输出样例3】

game.in	game.out
2 10 96 56 54 46 86 12 23 88 80 43 16 95 18 29 30 53 88 83 64 67	316994

【限制】

    60%的数据_满足：1<=n, m<=30, 答案不超过 10¹⁶

    100%的数据_满足：1<=n, m<=80, 0<=a_ij<=1000

【思路】

  区间DP+高精度

  可以从题目中看出每一行的选取都是独立的，而每一行的最优解共同构成答案，因此对n行分别求解。

  对一行而言，状态转移方程：

      D[i][j]=max{d[i+1][j]+sq[tmp]*A[i], d[i][j-1]+A[j]*sq[tmp] };

      (tmp=n+i-j , sq[i]定义为2^i)

  就数据来看我们需要用到高精度。

 【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<(c);a++)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn= 80+5;
const int MAXN = 410;

struct bign
{
    int len, s[MAXN];
    bign ()
    {
        memset(s, 0, sizeof(s));
        len = 1;
    }
    bign (int num) { *this = num; }
    bign (const char *num) { *this = num; }
    bign operator = (const int num)
    {
        char s[MAXN];
        sprintf(s, "%d", num);
        *this = s;
        return *this;
    }
    bign operator = (const char *num)
    {
        for(int i = 0; num[i] == '0'; num++) ;  //è￥?°μ?0
        len = strlen(num);
        for(int i = 0; i < len; i++) s[i] = num[len-i-1] - '0';
        return *this;
    }
    bign operator + (const bign &b) const //+
    {
        bign c;
        c.len = 0;
        for(int i = 0, g = 0; g || i < max(len, b.len); i++)
        {
            int x = g;
            if(i < len) x += s[i];
            if(i < b.len) x += b.s[i];
            c.s[c.len++] = x % 10;
            g = x / 10;
        }
        return c;
    }
    bign operator += (const bign &b)
    {
        *this = *this + b;
        return *this;
    }
    void clean()
    {
        while(len > 1 && !s[len-1]) len--;
    }
    bign operator * (const bign &b) //*
    {
        bign c;
        c.len = len + b.len;
        for(int i = 0; i < len; i++)
        {
            for(int j = 0; j < b.len; j++)
            {
                c.s[i+j] += s[i] * b.s[j];
            }
        }
        for(int i = 0; i < c.len; i++)
        {
            c.s[i+1] += c.s[i]/10;
            c.s[i] %= 10;
        }
        c.clean();
        return c;
    }
    bign operator *= (const bign &b)
    {
        *this = *this * b;
        return *this;
    }
    bign operator - (const bign &b)
    {
        bign c;
        c.len = 0;
        for(int i = 0, g = 0; i < len; i++)
        {
            int x = s[i] - g;
            if(i < b.len) x -= b.s[i];
            if(x >= 0) g = 0;
            else
            {
                g = 1;
                x += 10;
            }
            c.s[c.len++] = x;
        }
        c.clean();
        return c;
    }
    bign operator -= (const bign &b)
    {
        *this = *this - b;
        return *this;
    }
    bign operator / (const bign &b)
    {
        bign c, f = 0;
        for(int i = len-1; i >= 0; i--)
        {
            f = f*10;
            f.s[0] = s[i];
            while(f >= b)
            {
                f -= b;
                c.s[i]++;
            }
        }
        c.len = len;
        c.clean();
        return c;
    }
    bign operator /= (const bign &b)
    {
        *this  = *this / b;
        return *this;
    }
    bign operator % (const bign &b)
    {
        bign r = *this / b;
        r = *this - r*b;
        return r;
    }
    bign operator %= (const bign &b)
    {
        *this = *this % b;
        return *this;
    }
    bool operator < (const bign &b)
    {
        if(len != b.len) return len < b.len;
        for(int i = len-1; i >= 0; i--)
        {
            if(s[i] != b.s[i]) return s[i] < b.s[i];
        }
        return false;
    }
    bool operator > (const bign &b)
    {
        if(len != b.len) return len > b.len;
        for(int i = len-1; i >= 0; i--)
        {
            if(s[i] != b.s[i]) return s[i] > b.s[i];
        }
        return false;
    }
    bool operator == (const bign &b)
    {
        return !(*this > b) && !(*this < b);
    }
    bool operator != (const bign &b)
    {
        return !(*this == b);
    }
    bool operator <= (const bign &b)
    {
        return *this < b || *this == b;
    }
    bool operator >= (const bign &b)
    {
        return *this > b || *this == b;
    }
    string str() const
    {
        string res = "";
        for(int i = 0; i < len; i++) res = char(s[i]+'0') + res;
        return res;
    }
};

istream& operator >> (istream &in, bign &x)
{
    string s;
    in >> s;
    x = s.c_str();
    return in;
}

ostream& operator << (ostream &out, const bign &x)
{
    out << x.str();
    return out;
}

bign d[maxn][maxn];
bign A[maxn][maxn];
bign sq[maxn];
bign ans=0;
int n,m;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    FOR(i,1,n+1) FOR(j,1,m+1) cin>>A[i][j];
    sq[0]=1; FOR(i,1,m+1){ sq[i]=sq[i-1]*2;}   //高精单精乘 
    FOR(T,1,n+1){
      FOR(l,0,m) FOR(i,1,m-l+1) {  //m
            int j=i+l , tmp=m+i-j;
             if(l==0) { d[i][i]=A[T][i]*sq[tmp];continue; } 
             bign v1=d[i+1][j]+A[T][i]*sq[tmp] ,v2= d[i][j-1]+A[T][j]*sq[tmp] ;
            if(v1>v2)  d[i][j]=v1;  else d[i][j]=v2;   //高精赋值 
      }
      ans = ans + d[1][m];  //高精高精加 
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}