Description
今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
Output
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
Sample Input
4 5
Sample Output
122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 107。
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 107。
【思路】
这个博客推倒过程挺详细的 click here
我是图片的搬运工
到此为止，只要两个循环都用个分块就可以解决2154了。
【代码】
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 6 typedef long long ll; 7 const int N = 1e7+10; 8 const int MOD = 20101009; 9 10 ll mu[N],su[N],sz,np[N]; 11 int n,m,mx; 12 13 void get_mu() 14 { 15 int i,j; 16 mu[1]=1; 17 for(i=2;i<=mx;i++) { 18 if(!np[i]) 19 su[++sz]=i,mu[i]=-1; 20 for(j=1;j<=sz&&i*su[j]<=mx;j++) { 21 np[i*su[j]]=1; 22 if(i%su[j]==0) 23 mu[i*su[j]]=0; 24 else 25 mu[i*su[j]]=-mu[i]; 26 } 27 } 28 for(i=1;i<=mx;i++) 29 mu[i]=(mu[i-1]+(ll)(mu[i]*i*i)%MOD)%MOD; 30 } 31 ll t(ll x,ll y) 32 { 33 return ((ll)(x*(x+1)/2%MOD)*(ll)(y*(y+1)/2%MOD)%MOD); 34 } 35 ll F(int n,int m) 36 { 37 int i,last; ll ans=0; 38 for(i=1;i<=n;i=last+1) { 39 last=min(n/(n/i),m/(m/i)); 40 ans=(ans+(ll)(mu[last]-mu[i-1])*t(n/i,m/i)%MOD)%MOD; 41 } 42 return ans; 43 } 44 int main() 45 { 46 //freopen("in.in","r",stdin); 47 //freopen("out.out","w",stdout); 48 scanf("%d%d",&n,&m); 49 if(n>m) swap(n,m); 50 mx=n; 51 get_mu(); 52 int last; ll ans=0; 53 for(int i=1;i<=n;i=last+1) { 54 last=min(n/(n/i),m/(m/i)); 55 ans=(ans+((ll)(i+last)*(last-i+1)/2*F(n/i,m/i)%MOD))%MOD; 56 } 57 printf("%lld",(ans+MOD)%MOD); 58 return 0; 59 }
【优化】
我是图片的搬运工
（H打错为F 233）
积性函数的约数和也是积性函数，H(D) 可以用线性筛求，然后求下前缀和就好了。
至此为止，可以解决2693的多查询问题了。
【代码】
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 6 typedef long long ll; 7 const int N = 1e7+10; 8 const int MOD = 20101009; 9 10 ll sum[N],su[N],sz,np[N]; 11 int n,m,mx; 12 13 void get_mu() 14 { 15 int i,j; 16 sum[1]=1; 17 for(i=2;i<=mx;i++) { 18 if(!np[i]) { 19 su[++sz]=i, 20 sum[i]=(i-(ll)i*i)%MOD; 21 } 22 for(j=1;j<=sz&&i*su[j]<=mx;j++) { 23 np[i*su[j]]=1; 24 if(i%su[j]==0) 25 sum[i*su[j]]=(su[j]*sum[i])%MOD; 26 else 27 sum[su[j]*i]=(sum[su[j]]*sum[i])%MOD; 28 } 29 } 30 for(i=1;i<=mx;i++) 31 sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%MOD; 32 } 33 ll S(ll x,ll y) 34 { 35 return ((ll)(x*(x+1)/2%MOD)*(ll)(y*(y+1)/2%MOD)%MOD); 36 } 37 38 int main() 39 { 40 //freopen("in.in","r",stdin); 41 //freopen("out.out","w",stdout); 42 mx=1e7; 43 get_mu(); 44 int T; scanf("%d",&T); 45 while(T--) { 46 scanf("%d%d",&n,&m); 47 if(n>m) swap(n,m); 48 mx=n; get_mu(); 49 int last; ll ans=0; 50 for(int i=1;i<=n;i=last+1) { 51 last=min(n/(n/i),m/(m/i)); 52 ans=(ans+(ll)S(n/i,m/i)*(sum[last]-sum[i-1])%MOD)%MOD; 53 } 54 printf("%lld ",(ans+MOD)%MOD); 55 } 56 return 0; 57 }
两倍经验get :)
最后扔上popoqqq神犇的ppt click here