欧几里得算法

作用

又称辗转相除法, 迭代求两数 (gcd) 的做法

公式

(gcd(a, b) = gcd(b, a \% b))

code

递归写法

int gcd(int a, int b) { return !b ? a : gcd(b, a % b);}

二进制优化

不讲(其实是不会)

inline int gcd(int x, int y) {
	int i, j;
	if (x == 0) return y;
	if (y == 0) return x;
	for (i = 0;0 == (x&1); ++i) x >>= 1;
	for (j = 0;0 == (y&1); ++j) y >>= 1;
	if(j<i) i = j;
	while (1) {
		if (x < y) x ^= y , y ^= x , x ^= y;
		if (0 == (x -= y)) return y << i;
		while (0 == (x & 1)) x >>= 1;
	}
}

证明

设 (r = a \% b)
所以设 (a = bq + r)
((1)) 设 (d) 是 (a) 和 (b) 的公因数
则 (d | a) 且 (d|b)
所以 (d|(a - bq)), (r = a \% b = a - bq)
所以 (d|r)
所以 (d) 是 (b, r) 的公因数

((2)) 设 (d) 是 (b) 和 (r) 的公因数
则 (d|b) 且 (d|r)
所以 (d|(bq + r))
所以 (d|a)
所以 (d) 是 (a, b) 的公因数

综上, (a,b) 的所有公因数和 (b,r) 的所有公因数是一样的. 那么, (d) 是 (a, b) 的最大公因数, 当且仅当 (d) 是 (b) 和 (r) 的最大公因数.