逆元

定义

若 (ax equiv 1space pmod b) , 则称 (x) 是 (a) 关于模 (b) 的逆元.
常记做 (a^{-1})
同时, 上式等价于 (ax + by = 1) (同余的性质)

条件

逆元不一定存在, 存在的充要条件是 ((a, b) = 1)

推论

(p) 是质数, (p) 不整除 (a), 则 (a) 模 (p) 的逆元存在

结论

在 ([0, b)) 的范围内, (a) 关于模 (b) 的逆元(若存在), 是唯一的.

方法

可以用 (exgcd) 求逆元

code

int inv(int a, int b) {
	int x, y;
	exgcd(a, b, x, y);
	return x;
}

证明充要条件

充分性

反证法;
已知(ax equiv 1 pmod b)
所以 (ax + by = 1)
假设 ((a, b) > 1)
因为 ((a, b) | a) 且 ((a,b) | b)
又因为 (x,y) 为整数
所以 ((a, b) | (ax + by))
所以 ((a, b) | 1)
又因为 ((a, b) > 1)
所以 ((a,b) | 1) 不成立
所以矛盾
所以 (a) 存在模 (b) 的逆元，则 (a,b) 必然互素

必要性

a,b互素

反证法;
假设 ((a, b) = 1) 存在整数 $ x $ 使 (ax otequiv 1 pmod b)
所以 (ax + by eq 1)
因为 ((a, b) | a) 且 ((a,b) | b)
又因为 (x,y) 为整数
所以 ((a, b) | (ax + by))
所以 ((a, b) mid 1)
又因为 ((a, b) = 1)
所以 ((a,b) mid 1) 不成立
所以矛盾
所以若 (a,b) 互素,则 (a) 必然存在模 (b) 的逆元

a,b不互素

反证法;
假设 ((a, b) > 1) 存在整数 $ x $ 使 (ax equiv 1 pmod b)
所以 (ax + by = 1)
因为 ((a, b) | a) 且 ((a,b) | b)
又因为 (x,y) 为整数
所以 ((a, b) | (ax + by))
所以 ((a, b) | 1)
又因为 ((a, b) > 1)
所以 ((a,b) | 1) 不成立
所以矛盾
所以若 (a,b) 不互素,则 (a) 必然不存在模 (b) 的逆元

证明推论

充要条件是 ((a, p) = 1)
所以, 当(p) 是质数, (p) 不整除 (a), 则 (a) 模 (p) 的逆元存在

证明结论

反证法 :
若 (a) 关于模 (b) 的逆元有两个
不妨设 (0 leqslant x_1 < x_2 < b)
即 (ax_1 equiv ax_2 equiv 1 pmod b)
(Leftrightarrow b|a(x_1-x_2)) (同余中有说)
又因为 ((a, b) = 1)
所以 (b | (x_1 - x_2))
又因为 (0 leqslant x_1 < x_2 < b)
矛盾
所以假设不成立
所以在 ([0, b)) 的范围内, (a) 关于模 (b) 的逆元(若存在), 是唯一的.