Andrew 算法（构造凸包）

简要

这是一个基 (Graham) 思想的又一个算法，我个人认为其中复杂度的改进应该是在(sort) 的 (cmp) 部分吧，
(Graham) 的 (cmp) 部分需要对两个点算出叉乘，甚至在某些情况还要算出两个点的距离，这一步骤应该相对而言复杂度是较高的。
而 (Andrew) 很好的避免了这一步骤，直接通过对点的 (x, y) 的简单排序就可以实现一个 (nlogn) 的算法

算法思想

• 首先我们要对所有的点进行排序，通常情况下是按照，(X) 从小到大，如果 (X) 相等的话，按照 (Y) 从小到大。
  这里有一点我们必须明白，排序后，最前面和最后面的点一定是极点。

• 接着就是进行 (Graham) 算法的重要的一步 (Scan)。
  第一遍 (Scan) 我们从最左端的点出发，做一遍 (Scan) 我们可以得到整个凸包的下部分。
  第二遍 (Scan) 我们从最右端的点出发，做一遍 (Scan) 我们可以得到整个凸包的上部分。
  这两份 (Scan) 合并起来就是完整的凸包了。

实现图例

这是第一遍 (Scan)，蓝色的代表曾经走过，但是因为与后面的点构成凸包矛盾而进行过回溯。红色的线代表这一趟扫描满足条件的级边，也就是构成凸包的下半部分的边。

这是第二遍 (Scan)，绿色的代表曾经走过，但是因为与后面的点构成凸包矛盾而进行过回溯。黑色的线代表这一趟扫描满足条件的级边，也就是构成凸包的上半部分的边。

时间复杂度分析

(sort) 的时间是 (O(nlogn)) 两趟 (scan) 的时间都是线性的，整地复杂度是 (O(nlogn))，但是我们认为这个算法的时间复杂度是优于 (graham) 的，原因应该是我在开头提到的把

模板题

P2742 [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows /【模板】二维凸包

学习过程中(debug)很乱的代码

/*
    Code by lifehappy 2020:04:17
    凸包Andrew算法
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double INF = 1e100;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 1e5 + 10;

int n, cnt, m;

int sgn(double x) {
    if(fabs(x) < eps)   return 0;
    if(x > 0)   return 1;
    return -1;
}
struct point {
    double x, y;
    point(double a = 0.0, double b = 0.0) : x(a), y(b) {}
    bool operator < (point t) {
        if(sgn(x - t.x) == 0)    return y < t.y;
        return x < t.x;
    }
}p[N], ans[N], all[N];

point operator - (point a, point b) {
    return point(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
double dis(point a, point b) {
    a = a - b;
    return sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);
}
double cross(point a, point b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

void Andrew() {
    sort(p, p + n);
    int p1 = 0, p2;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        while(p1 > 1 && sgn(cross(ans[p1 - 1] - ans[p1 - 2], p[i] - ans[p1 - 2])) == -1)   p1--;
        ans[p1++] = p[i];
    }
    // cout << p1 << endl;
    // for(int i = 0; i < p1; i++) {
    //     int flag = 1;
    //     for(int j = 0; j < m; j++)
    //         if(sgn(ans[i].x - all[j].x) == 0 && sgn(ans[i].y - all[j].y) == 0) {
    //             flag = 0;
    //             break;
    //         }
    //     printf("%lf %lf    %s
", ans[i].x, ans[i].y, flag ? "False" : "            True");
    // }
    // cout << p1 << endl;
    p2 = p1;
    for(int i = n - 2; i>= 0; i--) {
        while(p2 > p1 && sgn(cross(ans[p2 - 1] - ans[p2 - 2], p[i] - ans[p2 - 2])) == -1)  p2--;
        ans[p2++] = p[i];
        // cout << p2 << endl;
    }
    // for(int i = 0; i < p2; i++)
    //     printf("%lf %lf
", ans[i].x, ans[i].y);
    // p2--;
    p2--;
    // for(int i = p1; i < p2; i++) {
    //     int flag = 1;
    //     for(int j = 0; j < m; j++)
    //         if(sgn(ans[i].x - all[j].x) == 0 && sgn(ans[i].y - all[j].y) == 0) {
    //             flag = 0;
    //             break;
    //         }
    //     printf("%lf %lf    %s
", ans[i].x, ans[i].y, flag ? "False" : "            True");
    // }
    // cout << p2 << endl;
    double target = 0.0;
    for(int i = 0; i < p2; i++)
        target += dis(ans[i], ans[i + 1]);
    printf("%.2f
", target);
}
int main() {
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
    // scanf("%d", &m);
    // for(int i = 0; i < m; i++)
    //     scanf("%lf %lf", &all[i].x, &all[i].y);
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
    Andrew();
    // point a(-9934.480000, -2886.200000), b(-9595.260000, -1905.480000), c(-9124.100000, -4804.250000);
    // printf("%lf
", cross(b - a, c - a));
    return 0;
}

较为简洁的代码

/*
    Code by lifehappy 2020:04:17
    凸包Andrew算法
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double INF = 1e100;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 1e5 + 10;

int n, cnt, m;

int sgn(double x) {
    if(fabs(x) < eps)   return 0;
    if(x > 0)   return 1;
    return -1;
}
struct point {
    double x, y;
    point(double a = 0.0, double b = 0.0) : x(a), y(b) {}
    bool operator < (point t) {
        if(sgn(x - t.x) == 0)    return y < t.y;
        return x < t.x;
    }
}p[N], ans[N], all[N];

point operator - (point a, point b) {
    return point(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
double dis(point a, point b) {
    a = a - b;
    return sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);
}
double cross(point a, point b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

void Andrew() {
    sort(p, p + n);
    int p1 = 0, p2;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        while(p1 > 1 && sgn(cross(ans[p1 - 1] - ans[p1 - 2], p[i] - ans[p1 - 2])) == -1)   p1--;
        ans[p1++] = p[i];
    }
    p2 = p1;
    for(int i = n - 2; i>= 0; i--) {
        while(p2 > p1 && sgn(cross(ans[p2 - 1] - ans[p2 - 2], p[i] - ans[p2 - 2])) == -1)  p2--;
        ans[p2++] = p[i];
    }
    p2--;
    double target = 0.0;
    for(int i = 0; i < p2; i++)
        target += dis(ans[i], ans[i + 1]);
    printf("%.2f
", target);
}
int main() {
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
    Andrew();
    return 0;
}