D. The Best Vacation（贪心+前缀和+二分）

The Best Vacation

思路

前缀和加贪心

贪心：我们的结尾点一定是在某一个月的最后一天。

贪心部分证明：我们选定两组数

(A = a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}……b_{n - 2}, b_{n - 1})

(B = a_{n - 1}, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}……b_{n - 2}, b_{n - 1}, b_{n})

假如我们的贪心策略是正确的，只需要证明(b_{n} > a_{n - 2})即可，但是我们总能如愿吗，看一组样例。

2 4
5 2

1 2 3 4 5 1 2

chose 3 4 5 1
chose 4 5 1 2

显然这里贪心策略错了
ans 2 3 4 5

但是我们能看到的是这组样例的却也是以某一个月的最后一天结尾。

我们列出(a, b)两个月的每天来。

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, ……, a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n})

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, ……, b_{n - 2}, b_{n - 1}, b_{n})

假如(b_{n} > a_{n - 2})，我们选定的两组数是一定成立的。

或者(b_{n} < a_{n - 2})，同样的我们可以得到(each i from 1 to n，a_{n - i - 1} > b_{n - i + 1})

这里我们证明得到在上一步的贪心中，以月份(a)结尾的是正确的，否则的话我们将得到以(b)结尾的是正确的。

由此我们的贪心策略是正确的，所以我们只需要用前缀和来维护，然后通过枚举结尾点就行了。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 4e5 + 10;

ll a[N], s[N], x;
int n;

int main() {
    freopen("in.txt", "r", stdin);
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> x;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i + n] = a[i];
        s[i] = s[i + n] = (1 + a[i]) * a[i] / 2;
    }
    for(int i = 1; i <= n << 1; i++)    a[i] += a[i - 1], s[i] += s[i - 1];
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
        if(a[i] < x)    continue;
        ll low = a[i] - x;
        int p = lower_bound(a + 1, a + 1 + 2 * n, low) - a;
        if(a[i] - a[p] == x)    ans = max(ans, s[i] - s[p]);
        else {
            ll last = low - a[p - 1];
            ans = max(ans, s[i] - s[p - 1] - (1 + last) * last / 2);
        }
    }
    cout << ans << "
";
	return 0;
}