这一篇来讲讲线段树合并。
前置知识：动态开点线段树
还是一样先给一道例题：[JOI2012] Building2
题面是日文的，这里给出中文翻译：
有n个城市，它们组成了一棵树。 第i个城市有一座高度为Hi的建筑。
你需要选择一条尽量长路径，设路径中有k个点， 依次分别为i1,i2,⋯ik−1,ik，使得路径满足Hi1<Hi2<⋯<Hik，这k个点不一定要连续，求k的最大值。
概述：求树上LIS( 最长上升子序列 )，不会求LIS也没有关系，这只是一道例题。
先来考虑朴素做法：
取出树上的所有路径，对它们分别求LIS。
可以做，但是复杂度太高，不可行。
我们发散思维，容易想到一种做法：
对于每一个点x，我们发现经过它的一条路径的LIS可以由两部分组成。
以x开头，x左边的部分路径如果是下降的，那右边就要是上升的( 值h )。
以x开头，x左边如果是上升的，右边就要是下降的。
画个图方便理解：
图中蓝色的显然就是过x的LIS
根据上面的想法，我们求出以x开头，往左的LIS=3，往右的LDS( 最长下降子序列 )=2。
以x开头，往左的LDS=1，往右的LIS=2。
我们比较两个结果( 相加-1，要把自己重复算的那一次减去 )，4和2，显然答案就是4。
现在考虑怎么实现这个想法，
刚开始，所有点的LIS和LDS都是1( 自己 )。
然后我们考虑从底向上合并答案。
dfs遍历到底，开始向上回溯，每次询问找到左右子树，直接合并答案。
如图：
还是一样，理解一下就好。看不懂没关系，可以照着代码自己画几组数据看看合并过程。
我们用动态开点线段树维护一下这个合并，题就做出来了。
现在来讲线段树合并。
顾名思义，线段树合并就是把两棵线段树合并成一棵。
可以在合并的过程中更新信息。
线段树合并可以解决大部分更新答案需要合并的问题，dsu( 树上启发式合并 )能做的它也基本可以。
给出合并的代码，以上面的例题为例：
inline void Merge(int&x,int y){ if(!x||!y){ x=x+y;return; } lis[x]=_fmax(lis[x],lis[y]); lds[x]=_fmax(lds[x],lds[y]); ret=fmax(ret,_fmax(lis[lc[x]]+lds[rc[y]],lds[rc[x]]+lis[lc[y]])); Merge(lc[x],lc[y]); Merge(rc[x],rc[y]); }
可以先学学可并堆(左偏树)，线段树合并和可并堆是有挺多相似的地方的。
左偏树的博客在我写完线段树系列后大概会写一篇。毕竟日更博主...。
然后我们的其他操作就和动态开点线段树基本一致了。
但是节点值的更新，是每次修改都要更新，这一点不像动态开点线段树( 在叶子节点更新 )。
inline void Update(int&x,int l,int r,int pos,int val,int *h){ if(!x)x=++ncnt; h[x]=_fmax(h[x],val); if(l==r)return; int mid=(l+r)>>1; if(pos<=mid)Update(lc[x],l,mid,pos,val,h); else Update(rc[x],mid+1,r,pos,val,h); }
现在给出我写的上面那道例题的标程。
注释已经全部加好了，请放心食用。看不懂的地方可以在下方评论区里留言。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define getchar gc char buf[1000010],*pos,*End; inline char gc(){ if(pos==End){ End=(pos=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin); if(pos==End)return EOF; }return *pos++; } //fread高速读入 const int N=100010; struct Edge{ int u,v,nxt; }e[N<<1]; int head[N],tot; inline void addedge(int u,int v){ e[++tot].u=u; e[tot].v=v; e[tot].nxt=head[u]; head[u]=tot; }//前向星存图 inline int _fmax(int x,int y){ return (((y-x)>>31)&(x^y))^y; }//快速max int ret; int root[N]; int lc[N*20],rc[N*20],lis[N*20],lds[N*20],ncnt;//开nlogn个点 inline void Merge(int&x,int y){//合并 if(!x||!y){ x=x+y;return; } lis[x]=_fmax(lis[x],lis[y]); lds[x]=_fmax(lds[x],lds[y]);//更新值 ret=_fmax(ret,_fmax(lis[lc[x]]+lds[rc[y]],lds[rc[x]]+lis[lc[y]])); Merge(lc[x],lc[y]); Merge(rc[x],rc[y]);//合并 } inline void Update(int&x,int l,int r,int pos,int val,int *h){ if(!x)x=++ncnt;//开点 h[x]=_fmax(h[x],val);//每个节点都更新值 if(l==r)return;//到叶子节点就可以返回了 int mid=(l+r)>>1; if(pos<=mid)Update(lc[x],l,mid,pos,val,h); else Update(rc[x],mid+1,r,pos,val,h);//递归更新值 } inline int Query(int&x,int l,int r,int L,int R,int *h){ if(l>r)return 0; if(!x)return 0; if(L<=l && r<=R)return h[x];//跟普通的动态开点线段树一样 int ret=0,mid=(l+r)>>1; if(L<=mid)ret=_fmax(ret,Query(lc[x],l,mid,L,R,h)); if(R>mid)ret=_fmax(ret,Query(rc[x],mid+1,r,L,R,h)); return ret; } int d[N],kcnt; inline int bis(int x){ return lower_bound(d+1,d+kcnt+1,x)-d;//离散化后查找值的二分 } int n,val[N]; int ans; inline void dfs(int x,int f){//dfs到底，回溯时进行合并 for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].v; if(y==f)continue; dfs(y,x); } ret=0; int nlis=0,nlds=0,ilis,ilds; for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].v; if(y==f)continue; ilis=Query(root[y],1,kcnt,1,val[x]-1,lis);//查找子树的lis ilds=Query(root[y],1,kcnt,val[x]+1,kcnt,lds);//查找子树的lds Merge(root[x],root[y]);//合并子树 ans=_fmax(ans,ilis+1+nlds); ans=_fmax(ans,ilds+1+nlis);//更新答案 nlis=_fmax(nlis,ilis); nlds=_fmax(nlds,ilds);//更新节点的值 } ans=_fmax(ans,ret);//更新答案 Update(root[x],1,kcnt,val[x],nlis+1,lis); Update(root[x],1,kcnt,val[x],nlds+1,lds);//更新线段树 } inline int read(){ int data=0,w=1;char ch=0; while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar(); if(ch=='-')w=-1,ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar(); return data*w; } int main(){ n=read(); for(int i=1;i<=n;i++){ val[i]=read(); d[++kcnt]=val[i]; } sort(d+1,d+kcnt+1); kcnt=unique(d+1,d+kcnt+1)-d-1;//离散化 for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=bis(val[i]); int x,y; for(int i=1;i<n;i++){ x=read();y=read(); addedge(x,y);addedge(y,x);//加边 } dfs(1,0); printf("%d ",ans); return 0; }
总结一下，遇到需要合并更新答案的题，就可以用线段树合并解决。
那么本篇到这里就结束了，撰文不易，希望帮到各位。
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