SG函数相关知识理解

必胜点和必败点的概念：

       P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。

       N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。

必胜点和必败点的性质：

        1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）

        2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。

        3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。

 

SG定理：游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。

　　首先定义mex运算，这是施加于一个集合的运算

　　表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

　　对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 

　　这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

      

 

F表示为当前的可改变当前状态 例如{1，3，4}三堆在Nim中的石头 用F[1] = 1 ,F[2] = 3, F[3] = 4表示

SG表示当前的SG值 SG(x) = mex(S)

S标记数组 在进行mex操作时进行数字标记

int f[N],SG[maxn],S[maxn];
void  getSG(int n)
{
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;
        for(j = 0;; j++) if(!S[j])
        {
                SG[i] = j;
                break;
        }
    }
}