数据结构与算法参考答案（第九周）

一、证明：一棵满k叉树上的叶子节点数n₀和非叶子节点数n₁之间满足以下关系：n₀=(k-1)n₁+1

答：

设满k叉树的结点总数为n，则有n=n₀+n₁。再看k叉树的分支数，除了根节点以外其余结点都有一个分支进入，分支总数为n-1，由于这些分支是由度为k的结点射出的，所以分支总数又为kn₁。所以kn₁=n-1=n₀+n₁-1。所以n₀=(k-1)n₁+1。

 

二、证明：由一棵二叉树的先序序列和中序序列可唯一确定这棵二叉树。

答：

用数学归纳法进行证明。

当n=1时，结论显然可知成立。

假设当n<=k时，结论成立。当n=k+1时，假设前序序列为{a₁,a₂,a₃,...a_m},假设中序序列为{b₁,b₂,b₃,...b_m}。

可以知道存在b_j与a₁相同。如果j=1，二叉树无左子树，显然由{a₂,a₃,...a_m}和{b₂,b₃,...b_m}可以唯一确定一个二叉树的右子树。如果j=m，二叉树无右子树，由{a₂,a₃,...a_m}和{b₁,...b_m-1}可以唯一确定一个二叉树的左子树。如果j为其他情况，由{a₂,...a_j}和{b₁,...b_j-1}可以唯一确定一个二叉树的左子树。由{a_j+1,...a_m}和{b_j+1,...b_m}可以唯一确定一个二叉树的右子树。

综上，由一棵二叉树的先序序列和中序序列可唯一确定这棵二叉树。

三、若已知两棵二叉树B1和B2皆为空，或者皆不空且B1的左、右子树和B2的左、右子树分别相似，则称二叉树B1和B2相似。试编写算法，判别给定两棵二叉树是否相似。

答：

采用递归的思想求解。若B1和B2都是空树，则相似；若有一个为空另一个不为空，则不相似；否则递归地比较他们的左、右子树是否相似。最后得到结果。

该算法实现的伪代码如下：

/*
    函数名称：判断两棵二叉树是否相似的递归算法 
    传入参数：两个需要判断的二叉树
    返回值：相似返回TRUE否则返回FALSE
*/
Status isSimilar(BiTree B1, BiTree B2)
{
   
    if(!B1 && !B2)  //如果两树皆空表明相似
        return TRUE; 
    else if(B1 && !B2 || !B1 && B2) //如果只有一个树为空表明不相似
        return FALSE;
    else{
        if(isSimilar(B1 -> lchild, B2 -> lchild) && isSimilar(B1 -> rchild, B2->rchild))    
        //递归判断左右子树是否相似
            return TRUE;
        else
            return FALSE;    
    }
}

 算法分析：本算法通过递归的方法实现，代码简洁，是解决该问题的较好的方法。