数值分析第二章 数值积分

数值积分部分考点总结

1. 梯形公式，中矩形公式，辛甫生公式应当熟练掌握P59
2. 机械求积法（求积结点和求积系数（节点的权））
3. 代数精度的定义（会计算给定求积公式的代数精度）
4. 在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个线性方程组的代数问题
5. 插值型求积公式
6. 定理1：形如P59（4）的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。所以一旦求积结点xk已被给出，那么，求积系数Ak的确定有两条可供选择的途径：A.求解线性方程组 B.计算积分（n阶的牛顿-科特斯公式至少有n次代数精度）

注：n为偶数有n+1次代数精度，n为奇数有n次代数精度

1. 牛顿-科特斯公式：Ck：科特斯系数。高阶公式由于稳定性差而不宜采用，有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式。
2. 几种低阶求积公式的余项
3. 复化积分法：复化积分公式和复化辛甫生公式需要掌握
4. 梯形法的递推化：算法简单，但精度较低，收敛速度缓慢，如何提高收敛速度以节省计算量
5. 事后估计法
6. 龙贝格公式的加速是极其显著的
7. 适当地选择求积节点xk，可以使求积公式具有2n-1次代数精度。这种高精度的求积公式称高斯公式。高斯公式的求积节点xk称为高斯点。
8. 一点高斯公式 两点高斯公式
9. 以高斯点为零点的n次多项式w(x)与一切次数小于等于n-1次的多项式p(x)正交。其逆命题也成立：若w(x)与任意n-1次多项式正交，则其零点必为高斯点。
10. 定理2 节点xk是高斯点的充分必要条件是w(x)与一切次数小于等于n-1的多项式p(x)正交，即成立。
11. 勒让德多项式：以高斯点xk为零点的n次式
12. 三次高斯公式背

题型：

1. 检验求积公式代数精度（带入直接计算即可）
2. 构造求积公式（两种方法）A.带入解方程B求积分
3. 判断求积公式是不是插值型的并求积分
4. 构造插值型求积公式（只能用积分的方法）（注意利用求积公式内在的对称性减少运算）
5. 可能会使用区间变换的方法进行求解（P84题5）
6. 利用三点高斯公式进行精度验证和求积公式设计
7. 计算加工后的松弛公式P91（带特殊点进行计算）