数值分析第三章 常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法重点回顾：

1. 差分方法是一类重要的数值解法，这类方法是要寻求一系列离散结点上的近似解h为步长。一般来说，假定h为定数。
2. 能求解的常微分方程的条件。A.两个方程B.满足李普希兹条件C.f(x,y)适当光滑。这样可以保证解存在且唯一。
3. 数值解法的第一步是设法消除其导数项，这项手续称“离散化”。由于差分是微分的近似计算，实现离散化的基本途径就是用差商来替代导数。
4. 欧拉格式需要熟练掌握。
5. 欧拉格式仅为一阶方法（证明是用泰勒公式）
6. 隐式欧拉格式也是一阶方法需要掌握
7. 两步欧拉格式：调用了前面的两步的信息，是一个二阶方法。
8. 梯形格式需要掌握。实质上是欧拉格式和隐式欧拉格式的算术平均。
9. 改进的欧拉格式：综合欧拉方法和梯形方法。先用欧拉方法求得一个初步的近似值，即为预报值。然后用它代替梯形方法yn+1进行计算。就得到了预报-校正系统。可以写成嵌套的方式。或者表示为平均化形式
10. 龙格库塔方法（背四阶龙格库塔方法）
11. 亚当姆预报-校正系统
12. 欧拉方法是收敛的
13. 欧拉方法是条件稳定的
14. 隐式欧拉格式恒稳定（无条件稳定的）

下图是我对教材99页公式的证明