网络流模板（更新中）

最大流：

性质：1. f(u,v)= - f(v,u)    2.流量守恒（即每一个非源点s，非汇点t的点流入量=流出量） 

   3.源点的流出量=汇点的流入量4.最小割=最大流（C(S,T)：两个点集之间      边的最小容量和）

最大流共同的思想：先找增广流路径，再更新该路径上的边的残流（剩余流量）。

/*
最大流EK算法，O(V*E*E)
算法思想：先找到一条可流的增广路P，再把P中的边的最小残余量增加最在流中。更新残余量。

*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define captype __int64
const int N = 205;


captype cap[N][N],f[N][N],rest[N];
int sNode,eNode,pre[N];


void init(){
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(cap,0,sizeof(cap));
}


bool searchPath(int n){//找一条增广路
    bool vist[N]={0};
    queue<int>q;
    int u,v;
    u=sNode; vist[u]=1;
    pre[u]=u; rest[u]=1<<30;
    q.push(u);
    while(!q.empty()){
        u=q.front(); q.pop();
        for(v=1; v<=n; v++)
        if(!vist[v]&&cap[u][v]-f[u][v]>0)
        {
            vist[v]=1; pre[v]=u;
            if(cap[u][v]-f[u][v]>rest[u])
              rest[v]=rest[u];
            else
                rest[v]=cap[u][v]-f[u][v];
            if(v==eNode) return true;
            q.push(v);
        }
    }
    return false;
}
captype maxflow(int s,int t,int n){
    captype ans=0;
    sNode=s; eNode=t;
    while(searchPath(n)){
        ans+=rest[eNode];
        int v=eNode;
        while(v!=sNode){
            int u=pre[v];
            f[u][v]+=rest[eNode];
            f[v][u]-=rest[eNode];//给一个回流的机会
            v=u;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int a,b,c;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        scanf("%d%d",&sNode,&eNode);
        init();
        while(m--){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            cap[a][b]+=c;
        }
        printf("%d
",maxflow(sNode,eNode,n));
    }
}

/*
最大流：压入重标记push_relabel算法O(VE)
算法思想：从高流向低。尽量把通道注满,活节点(即顶点有流量)的高度在不断的变
存图：邻接表法
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define captype __int64
const int N  = 210;
const int MAX= 1<<30;

struct EDG{
    int to,nxt;
    captype c;  //每条边的残留量
}edg[N*N];
int head[N],eid;
captype vf[N];     //顶点的剩余流量
int h[N];      //顶点的高度
//int n;         //顶点个总个数，包括源点与汇点

int min(int a,int b){return a>b?b:a; }
void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    eid=0;
}
//加入 有向边
void addEdg(int u , int v, captype c){
    edg[eid].to=v; edg[eid].nxt=head[u]; edg[eid].c=c; head[u]=eid++;
    edg[eid].to=u; edg[eid].nxt=head[v]; edg[eid].c=0; head[v]=eid++;
}
captype maxFlow(int sNode,int eNode,int n){//源点与汇点，注意：n为点的总个数,包括源点与汇点
    captype ans=0;
    queue<int>q;

    memset(h,0,sizeof(h));
    memset(vf,0,sizeof(vf));
    h[sNode]=n+1;   //源点的高度
    vf[sNode]=MAX;  //源点的余流

    q.push(sNode);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        int minh=MAX;

        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edg[i].nxt){
            int v=edg[i].to;

            captype fp;
            if(edg[i].c<vf[u])fp=edg[i].c;
            else fp=vf[u];

            if(fp>0 ){
                minh=min(minh, h[v]);
                if(u==sNode || h[u]==h[v]+1){
                    edg[i].c-=fp;
                    edg[i^1].c+=fp; //反向边，给个反回的通道
                    vf[u]-=fp;
                    vf[v]+=fp;
                    if(v==eNode) ans+=fp;   //当到达汇点时。就加入最大流中
                    if(v!=sNode && v!=eNode )   //仅仅有即不是源点，也不是汇点时才干进队列
                        q.push(v);
                }
            }
            if(vf[u]==0) break; //假设顶点的余流为0，则能够跳出for循环
        }
        //假设不是源点（也非汇点）。且顶点仍有余流，则又一次标记 高度+1 入队
        //这里赋值为最低的相邻顶点的高度高一个单位,也能够简单的在原高度+1
        if(u!=sNode && vf[u]>0){
            h[u] = minh + 1;
            q.push(u);
        }
    }
    return ans;
}

/*
最大流：SAP算法。与ISAP的区别就是不用预处理
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define captype int

const int MAXN = 100010;   //点的总数
const int MAXM = 400010;    //边的总数
const int INF = 1<<30;
struct EDG{
    int to,next;
    captype cap,flow;
} edg[MAXM];
int eid,head[MAXN];
int gap[MAXN];  //每种距离(或可觉得是高度)点的个数
int dis[MAXN];  //每一个点到终点eNode 的最短距离
int cur[MAXN];  //cur[u] 表示从u点出发可流经 cur[u] 号边
int pre[MAXN];

void init(){
    eid=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
//有向边 三个參数。无向边4个參数
void addEdg(int u,int v,captype c,captype rc=0){
    edg[eid].to=v; edg[eid].next=head[u];
    edg[eid].cap=c; edg[eid].flow=0; head[u]=eid++;

    edg[eid].to=u; edg[eid].next=head[v];
    edg[eid].cap=rc; edg[eid].flow=0; head[v]=eid++;
}
captype maxFlow_sap(int sNode,int eNode, int n){//n是包含源点和汇点的总点个数。这个一定要注意
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    pre[sNode] = -1;
    gap[0]=n;
    captype ans=0;  //最大流
    int u=sNode;
    while(dis[sNode]<n){   //推断从sNode点有没有流向下一个相邻的点
        if(u==eNode){   //找到一条可增流的路
            captype Min=INF ;
            int inser;
            for(int i=pre[u]; i!=-1; i=pre[edg[i^1].to])    //从这条可增流的路找到最多可增的流量Min
            if(Min>edg[i].cap-edg[i].flow){
                Min=edg[i].cap-edg[i].flow;
                inser=i;
            }
            for(int i=pre[u]; i!=-1; i=pre[edg[i^1].to]){
                edg[i].flow+=Min;
                edg[i^1].flow-=Min;  //可回流的边的流量
            }
            ans+=Min;
            u=edg[inser^1].to;
            continue;
        }
        bool flag = false;  //推断是否能从u点出发可往相邻点流
        int v;
        for(int i=cur[u]; i!=-1; i=edg[i].next){
            v=edg[i].to;
            if(edg[i].cap-edg[i].flow>0 && dis[u]==dis[v]+1){
                flag=true;
                cur[u]=pre[v]=i;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            u=v;
            continue;
        }
        //假设上面没有找到一个可流的相邻点，则改变出发点u的距离（也可觉得是高度）为相邻可流点的最小距离+1
        int Mind= n;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edg[i].next)
        if(edg[i].cap-edg[i].flow>0 && Mind>dis[edg[i].to]){
            Mind=dis[edg[i].to];
            cur[u]=i;
        }
        gap[dis[u]]--;
        if(gap[dis[u]]==0) return ans;  //当dis[u]这样的距离的点没有了。也就不可能从源点出发找到一条增广流路径
                                        //由于汇点到当前点的距离仅仅有一种，那么从源点到汇点必定经过当前点，然而当前点又没能找到可流向的点，那么必定断流
        dis[u]=Mind+1;//假设找到一个可流的相邻点。则距离为相邻点距离+1。假设找不到。则为n+1
        gap[dis[u]]++;
        if(u!=sNode) u=edg[pre[u]^1].to;  //退一条边
    }
    return ans;
}

/*
最大流：ISAP+BFS  初始化+栈优化
算法思想：先预处理汇点到全部点的最短距离，并记录每种距离点的个数（用于优化），在从源点寻找增广流路径时用栈优化，
            用栈的优点是：当找到一条可增流的路时。在流的瓶颈边处裁断。在栈中它的下方边还是能够增流。反复利用，
            若没找到能够退出一条边。继续找。
存图：邻接表
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define captype __int64  

const int MAXN = 100010;   //点的总数
const int MAXM = 400010;    //边的总数
const int INF = 1<<30;
struct EDG{
    int to,next;
    captype cap,flow;
} edg[MAXM];
int eid,head[MAXN];
int gap[MAXN];  //每种距离(或可觉得是高度)点的个数
int dis[MAXN];  //每一个点到终点eNode 的最短距离
int cur[MAXN];  //cur[u] 表示从u点出发可流经 cur[u] 号边

void init(){
    eid=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
//有向边 三个參数，无向边4个參数
void addEdg(int u,int v,captype c,captype rc=0){
    edg[eid].to=v; edg[eid].next=head[u];
    edg[eid].cap=c; edg[eid].flow=0; head[u]=eid++;

    edg[eid].to=u; edg[eid].next=head[v];
    edg[eid].cap=rc; edg[eid].flow=0; head[v]=eid++;
}
//预处理eNode点到全部点的最短距离
void BFS(int sNode, int eNode){
    queue<int>q;
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    gap[0]=1;
    dis[eNode]=0;
    q.push(eNode);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edg[i].next){
            int v=edg[i].to;
            if(dis[v]==-1){
                dis[v]=dis[u]+1;
                gap[dis[v]]++;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}
int S[MAXN];    //路径栈。存的是边的id号
captype maxFlow_sap(int sNode,int eNode, int n){  //注意：n为点的总个数。包含源点与汇点
    BFS(sNode, eNode);              //预处理eNode到全部点的最短距离
    if(dis[sNode]==-1) return 0;    //源点到不可到达汇点
    memcpy(cur,head,sizeof(head));

    int top=0;  //栈顶
    captype ans=0;  //最大流
    int u=sNode;
    while(dis[sNode]<n){   //推断从sNode点有没有流向下一个相邻的点
        if(u==eNode){   //找到一条可增流的路
            captype Min=INF ;
            int inser;
            for(int i=0; i<top; i++)    //从这条可增流的路找到最多可增的流量Min
            if(Min>edg[S[i]].cap-edg[S[i]].flow){
                Min=edg[S[i]].cap-edg[S[i]].flow;
                inser=i;
            }
            for(int i=0; i<top; i++){
                edg[S[i]].flow+=Min;
                edg[S[i]^1].flow-=Min;  //可回流的边的流量
            }
            ans+=Min;
            top=inser;  //从这条可增流的路中的流量瓶颈 边的上一条边那里是能够再增流的，所以仅仅从断流量瓶颈 边裁断
            u=edg[S[top]^1].to;  //流量瓶颈 边的起始点
            continue;
        }
        bool flag = false;  //推断是否能从u点出发可往相邻点流
        int v;
        for(int i=cur[u]; i!=-1; i=edg[i].next){
            v=edg[i].to;
            if(edg[i].cap-edg[i].flow>0 && dis[u]==dis[v]+1){
                flag=true;
                cur[u]=i;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            S[top++] = cur[u];  //增加一条边
            u=v;
            continue;
        }
        //假设上面没有找到一个可流的相邻点。则改变出发点u的距离（也可觉得是高度）为相邻可流点的最小距离+1
        int Mind= n;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edg[i].next)
        if(edg[i].cap-edg[i].flow>0 && Mind>dis[edg[i].to]){
            Mind=dis[edg[i].to];
            cur[u]=i;
        }
        gap[dis[u]]--;
        if(gap[dis[u]]==0) return ans;  //当dis[u]这样的距离的点没有了。也就不可能从源点出发找到一条增广流路径
                                        //由于汇点到当前点的距离仅仅有一种，那么从源点到汇点必定经过当前点，然而当前点又没能找到可流向的点，那么必定断流
        dis[u]=Mind+1;      //假设找到一个可流的相邻点。则距离为相邻点距离+1，假设找不到。则为n+1
        gap[dis[u]]++;
        if(u!=sNode) u=edg[S[--top]^1].to;  //退一条边

    }
    return ans;
}

最小费用最大流：

/*
最小费用最大流：求最大费用仅仅需费用cost取反，结果取反就可以。
算法思想：先用spfa找一条最小费用的可增广流路径。再更新残流网络，数组模拟队列快
存图：邻接表
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 100100;
const int INF = 1<<30;
struct EDG{
    int to,next,cap,flow;
    int cost;  //单位价格
}edg[MAXM];
int head[MAXN],eid;
int pre[MAXN], cost[MAXN] ; //点0~(n-1)

void init(){
    eid=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addEdg(int u,int v,int cap,int cst){
    edg[eid].to=v; edg[eid].next=head[u]; edg[eid].cost = cst;
    edg[eid].cap=cap; edg[eid].flow=0; head[u]=eid++;

    edg[eid].to=u; edg[eid].next=head[v]; edg[eid].cost = -cst;
    edg[eid].cap=0; edg[eid].flow=0; head[v]=eid++;
}

bool inq[MAXN];
int q[MAXN];
bool spfa(int sNode,int eNode,int n){
    int l=0 , r=0;

    for(int i=0; i<n; i++){
        inq[i]=false; cost[i]= INF;
    }
    cost[sNode]=0; inq[sNode]=1; pre[sNode]=-1;
    q[r++]=sNode;
    while(l!=r){
        int u=q[l++];
        if(l==MAXN)l=0;
        inq[u]=0;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=edg[i].next){
            int v=edg[i].to;
            if(edg[i].cap-edg[i].flow>0 && cost[v]>cost[u]+edg[i].cost){ //在满足可增流的情况下。最小花费
                cost[v] = cost[u]+edg[i].cost;
                pre[v]=i;   //记录路径上的边
                if(!inq[v]){
                    if(r==MAXN)r=0;
                    q[r++]=v;
                    inq[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    return cost[eNode]!=INF;    //推断有没有增广路
}
//反回的是最大流，最小花费为minCost
int minCost_maxFlow(int sNode,int eNode ,int& minCost,int n){
    int ans=0;
    while(spfa(sNode,eNode,n)){
        int mint=INF;
        for(int i=pre[eNode]; i!=-1; i=pre[edg[i^1].to]){
            if(mint>edg[i].cap-edg[i].flow)
                mint=edg[i].cap-edg[i].flow;
        }
        ans+=mint;
        for(int i=pre[eNode]; i!=-1; i=pre[edg[i^1].to]){
            edg[i].flow+=mint; edg[i^1].flow-=mint;
            minCost+=mint*edg[i].cost;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    //输入。初始化init()
}