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这一讲介绍EM算法和因子分析，回顾了高斯混合模型。
回顾EM算法
重复直到收敛
(E步骤)对每个$i$，令
(M步骤)令
我们怎么知道这个算法是否收敛呢？假设$theta^{(t)}$和$theta^{(t+1)}$是两次成功迭代得到的参数。我们将证明$l(theta^{(t)})le l(theta^{(t+1)})$，这说明EM算法总是让对数似然函数单调递增。证明这点的关键在于我们对$Q_i$的选择。特别地，当EM算法的参数为$theta^{(t)}$时，我们将选择$Q_i^{(t)}(z^{(i)}) := p(z^{(i)}|x^{(i)};theta^{(t)})$。我们之前看到这个选择保证了Jenson不等式的等号成立，因此
参数$l(theta^{(t+1)})$是由最大化该等式的右边得到的，因此
第一个不等号成立是因为如下不等式对任意$Q_i$和$theta$都成立
特别地，上式对$Q_i=Q_i^{(t)},theta = theta^{(t+1)}$成立。第二个不等号成立是因为我们选择$theta^{(t+1)}$为
因此这个式子在$theta^{(t+1)}$的取值必然大于等于在$theta^{(t)}$的取值。最后一个等号成立是在选择$Q_i^{(t)}$时我们就是要保证不等号取等号。
因此，EM算法导致对数似然函数单调收敛。在我们对EM算法的描述中，我们说我们将运行直至收敛。根据我们刚刚展示的结果，一个合理的收敛测试为检测在成功迭代一轮后，$l(theta)$的增量是否小于阈值，如果EM算法增加$l(theta)$的速度很慢，那么就宣称算法收敛。
注记
如果我们定义
那么从之前的推导中，我们知道$l(theta)ge J(Q,theta)$。EM算法也可以视为$J$的坐标上升过程，其中E步骤关于Q最大化$J$（因为E步骤选择$Q$使得$l(theta)= J(Q,theta)$），$M$步骤关于$theta$最大化$J$
3.回顾高斯混合模型
有了对EM算法的一般定义，让我们回顾拟合高斯混合模型参数$phi,mu,Sigma$的例子。
E步骤很简单，按照之前推导的算法，我们可以简单计算得到
这里，$ Q_i(z^{(i)}=j)$表示在$Q_i$分布下，$z^{(i)}$取$j$的概率。
接着，在M步骤中，我们需要关于参数$phi,mu,Sigma$最大化下式
让我们关于$mu_l$最大化上式。关于$mu_l$求梯度可得
令上式为$0$，解出$mu_l$可以得到更新规则
这部分我们在之前的讲义中已经见过。
让我们再看一个例子，推导出M步骤更新$phi_j$的规则。将关于参数$phi_j$的部分整合起来，我们需要最大化
但是，这里有一个额外的限制：$phi_j$的和为$1$，因为它表示概率$phi_j=p(z^{(i)}=j;phi)$。为了处理$sum_{j=1}^k phi_j =1$，我们构造拉格朗日函数（注意，这里实际上还有限制$phi_j ge0$，但随后我们会发现解满足这个条件）
其中$beta$是拉格朗日乘子。求导可得
令导数为$0$解得
即$phi_j propto sum_{i=1}^m w_j^{(i)}$。利用约束条件$sum_{j=1}^k phi_j =1$，我们可以轻松发现
（这里利用到$w_j^{(i)}=Q_i(z^{(i)}=j)$，然后概率的和为$1$，$ sum_{j=1}^k w_j^{(i)}=1$）。因此我们得到M步骤更新$phi_j$的规则
最后补充$Sigma_j$的更新规则，将关于参数$Sigma_j$的部分整合起来
注意到如果求出$Sigma_j^{-1}$的更新规则，那么就可以得到$Sigma_j$的更新规则，所以关于$Sigma_j^{-1}$求梯度可得
令导数为$0$可得
这里用到了如下规则：
Part X 因子分析
当我们的数据$x^{(i)}in mathbb R^n$来自几个高斯混合模型时，EM算法可以用来拟合混合模型。在这种情形下，我们常常假设有足够多的数据来发现数据中的多元高斯分布结构。这种情形常常发生在训练集样本的数量$m$远远大于数据维度$n$。
现在，考虑$ngg m$的情形。在这样一个问题中，用一个高斯分布来给数据建模甚至都很困难，更别提高斯混合模型了。特别地，$m$个数据点只张成了$mathbb R^n$的一个低维子空间，如果我们将用高斯分布给数据建模，然后利用极大似估计来估计均值和协方差，可以得到
我们会发现矩阵$Sigma$奇异（不可逆）。这意味着$Sigma^{-1}$不存在，并且$1/ |Sigma|^{1/2}= 1/ 0$。但是这两项在计算多元高斯分布时都需要用到。另一种陈述问题的困难性的方法如下，对参数的极大似然估计产生的高斯分布，其概率分布分布在数据张成的仿射空间中，这对应着一个奇异的协方差矩阵。
更一般的，除非$m$超过$n$一定数量，否则均值和协方差的极大似然估计可能很差。然而，我们仍然能用一个合理的高斯模型对数据进行拟合，并且也许能够识别出数据中有趣的协方差结构。我们是如何做到的？
在后面一部分中，我们会从复习两个对于$Sigma$可能的限制开始，这些限制允许我们用少量的数据来拟合$Sigma$，但是他们都无法对问题给出满意的解答。接着我们将讨论高斯分布的性质；例如高斯分布的边际分布以及条件分布。最后，我们将展示因子分析模型以及EM算法对其参数的估计。
1.$Sigma$的限制
如果我们没有充足的数据来拟合完整的协方差矩阵，我们可以对我们考虑的矩阵空间$Sigma$添加一些约束。例如，我们可以选择拟合一个对角协方差矩阵$Sigma$。在这种情形下，可以很简单核实协方差矩阵的对角元的最大似然估计满足
因为，$Sigma_{jj}$就是对数据第$j$个分量方差的经验估计。
有时我们会对协方差矩阵添加更多约束，不仅认为它是对角阵，还认为对角元相同，此时最大似然估计为
其中$x_1in mathbb R^r, x_2 in mathbb R^s$，因此$xin mathbb R^{r+s}$。假设$xsim mathcal N(mu, Sigma)$，其中
其中，$mu_1in mathbb R^r$，$mu_2in mathbb R^s$，$Sigma_{11}=mathbb R^{rtimes r}$，$Sigma_{12}in mathbb R^{rtimes s}$，以此类推。注意到因为协方差矩阵对称，所以$Sigma_{12}=Sigma_{21}^T$。
在我们的假设下，$x_1$和$x_2$的联合分布为多元高斯分布。那么$x_1$的边际分布是什么？此外，给定$x_2$，$x_1$的条件分布是什么？实际上，有如下结论：
下面证明上述结论。
令
那么
从而
其中
因此可以看出$y_1, y_2$独立，且
由对称性类似可得
备注：这里求$x_2$的边际分布而不是$x_1$的边际分布是为了方便求出条件分布。
接下来考虑$ x_1 |x_2$的分布，
这里要利用到$B$为正交矩阵，且
首先计算分子
接着计算分母，之前已经计算过了
因此
注意到
从而
3.因子分析模型
在因子分析模型中，我们按如下方式在$(x,z)$上建立联合分布，其中$zin mathbb R^k$是一个隐变量：
这里，模型的参数是向量$muin mathbb R^n$，矩阵$Lambda in mathbb R^{ntimes k}$，以及对角阵$Psi in mathbb R^{ntimes n}$。$k$的值通常选择为比$n$小。
因此，我们想象每个数据点$x^{(i)}$是如下生成的：首先对$k$维高斯分布$z^{(i)}$取样。然后，通过计算$mu+Lambda z^{(i)}$将$z^{(i)}$映射到$mathbb R^n$的$k$维的仿射子空间。最后，$x^{(i)}$通过对$mu+Lambda z^{(i)}$添加协方差噪音$Psi$生成。
或者等价地，我们可以按如下方式定义因子分析模型
其中$epsilon ,z$独立。
让我们看看该模型的准确分布。随机变量$z$和$x$有一个联合高斯分布
我们现在将计算出$mu_{zx}$和$Sigma$
由$z sim mathcal N(0,I)$我们知道$mathbb E[z]=0$。所以，我们有
将上述结果合并，我们有
接下来，为了得到$Sigma$，我们需要计算$Sigma_{zz}=mathbb E[(z-mathbb E[z])(z-mathbb E[z])^T]$（$Sigma$的左上分块），$Sigma_{zx}=mathbb E[(z-mathbb E[z])(x-mathbb E[x])^T]$（$Sigma$的右上分块），以及$Sigma_{xx}=mathbb E[(x-mathbb E[x])(x-mathbb E[x])^T]$（$Sigma$的右下分块）。
因为$z sim mathcal N(0,I)$，我们可以轻松得到$Sigma_{zz}=text{Cov}(z)=I$。并且，我们有
最后一步中，我们利用到$mathbb E[zz^T]=text{Cov}(z)$的事实（因为$z$的均值为$0$），以及$ mathbb E[zepsilon^T]= mathbb E[z]mathbb E[epsilon^T]=0$（因为$z$和$epsilon$独立，所以乘积的期望等于期望的乘积）。类似的，我们可以按如下方式计算出$Sigma_{xx}$
将所有内容整合起来，我们得到
我们还能发现$x$的边际分布为$xsim mathcal N(mu,LambdaLambda^T+Psi)$。因此，给定训练集${x^{(i)};i=1,…,m}$，参数的对数似然函数如下：
为了进行最大似然估计，我们想关于参数最大化上式。但是精确地对上式最大化很困难，并且我们知道没有算法能以解析形式求出参数。所以，取而代之，我们将使用EM算法。在下一部分，我们将推导因子分析的EM算法。