第十章：定积分

定积分存在定理

定理1: 若函数f(x)在区间[a, b]上可积, 则f(x)在区间[a, b]上有界

定理2: 当函数f(x)在区间[a, b]上连续时, f(x)在区间[a, b]上可积

定理3: 设函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个第一类间断点, 则f(x)在区间[a, b]上可积

定积分性质

(1) 当a=b时, $int^b_af(x)dx=0$
(2) 当a>b时, $int^b_af(x)dx=-int^a_bf(x)dx$

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

例 $int^frac{pi}{2}_0cos^5xsin xdx$
解: $int^frac{pi}{2}_0cos^5xsin xdx=-int^frac{pi}{2}_0cos^5xd(cos x)=-frac{cos^6x}{6}|^frac{pi}{2}_0=frac{1}{6}$

例 $int^{ln2}_0sqrt{e^x-1}dx$大专栏  第十章：定积分trong>
解: 令$t=sqrt{e^x-1}, dt=frac{1}{2}(e^x-1)^{-frac{1}{2}}cdot e^xdx Rightarrowfrac{1}{2}frac{1}{t}(t^2+1)dxRightarrowfrac{t^2+1}{2t}dx$
当$x=ln 2, 得t=1$, 当$x=0, 得t=0$
$2int^1_0 tcdotfrac{t}{t^2+1}dt=2int^1_0frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt=2int^1_0(1-frac{1}{t^2+1})dt=2t|^1_0-2arctan t|^1_0=2-frac{pi}{2}$

例 $int^a_0frac{1}{x+sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0)$
解: 令$x=asin t, dx=acos tdt; tin(0, frac{pi}{2})$
当$x=a, 得t=frac{pi}{2}$, 当$x=0, 得t=0$
$原式=int^frac{pi}{2}_0frac{acos t}{asin t+acos t}dt=int^frac{pi}{2} _{0}frac{cos t+sin t-sin t}{sin t+cos t}dt=frac{1}{2}int^{frac{pi}{2}} _0(1+frac{cos t-sin t}{sin t+cos t})dt$
$=frac{1}{2}int^{frac{pi}{2}}_0dt+frac{1}{2}int^{frac{pi}{2}}_0frac{1}{sin t+cos t}d(sin t+cos t)=frac{1}{2}t|^{frac{pi}{2}} _0+frac{1}{2}ln|sin t+cos t||^{frac{pi}{2}} _0=frac{pi}{4}$

定积分的分部积分法

设函数u(x), v(x)在区间[a, b]上有连续导数, 则有$int^b_a udv=[uv]^b_a-int^b_a vdu$

$int^{frac{1}{2}}_0arcsin xdx$
解: $int^{frac{1}{2}}_0arcsin xdx=[xarcsin x]^{frac{1}{2}} _0-int^{frac{1}{2}}_0x$