干什么用的？
min_25筛用于求一类积性函数的前缀和，其使用条件为：
- $f(p)$是一个关于p的简单多项式
- $f(p^c)$可以快速的计算
约定
约定$P_i$为第i个质数，prime表示质数集合，$ver(i)$表示i的最小质因子
本文所有代码的取模计算用函数实现，具体代码如下：
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| typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int (int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
int qpow(int a,int b){
int ret=1;
for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);
return ret;
}
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并且预处理出$sqrt {n}$的所有素数以及前缀和
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| int prime[N],pre[N],pcnt,v[N];
inline void getprime(int n){
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i])prime[++pcnt]=i;
for(int j=1;j<=pcnt&&(long long)prime[j]*i<=n;j++){
v[i*prime[j]]=1;
if(!i%prime[j])break;
}
}
for(int i=1;i<=pcnt;i++)pre[i]=add(pre[i-1],prime[i]);
}
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怎么筛
1. 考虑质数
我们先考虑将函数全部写成质数时的表达式子，然后求出所有为质数的值，即对于每个n/i，求出
$$
g[n]=sum_{(jle n) and (j in prime)} f(j)
$$
我们记$g[n][j]$表示g[n]筛去前 j 个质数的倍数的情况
显然$P_j^2>n$的时候不会筛掉任何数，考虑容斥掉之前的质数的情况，我们有：
$$
g[n][j]=g[n][j-1] (P_j^2>n)
$$
$$
g[n][j]=g[n][j-1]-f(P_j)(g[frac {n} {P_j}][j-1]-sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)) （P_j^2le n）
$$
$$
g[n][0]=sum f(i)(按照iin prime 算)
$$
以下以筛素数个数以及筛素数和为例
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| for(ll u=1,v;u<=n;u=v+1){
v=n/(n/u);
w[++m]=n/u;
if(w[m]<=sqr)id1[w[m]]=m;
else id2[n/w[m]]=m;
h[m]=(ll)(w[m]-1)%mod;
g[m]=mul((ll)(w[m]+2)%mod,(ll)(w[m]-1)%mod);
if (g[m]&1) g[m]+=mod;g[m]/=2;
}
for(int j=1;j<=pcnt;j++){
for(int i=1;i<=m&&1ll*prime[j]*prime[j]<=w[i];++i){
int idd=(w[i]/prime[j])<=sqr?id1[w[i]/prime[j]]:id2[n/(w[i]/prime[j])];
g[i]=sub(g[i],mul(prime[j],sub(g[idd],pre[j-1])));
h[i]=sub(h[i],sub(h[idd],j-1));
}
}
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2.考虑合数
同样的我们可以考虑容斥掉合数。
首先我们定义$S(n,j)=sum _{i=1}^{n} [ver(i)ge P_j]f(i)$
则有$ans=S(n+1)+f(1)$
质数部分的答案是 $h(n,j)=g[n][j]-sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)$
然后我们枚举最小的质因子并且枚举次幂，有
$$
S(n,j)=h(n,|prime|)+sum_{k=j}^{P_k^2le n}sum_{e=1}^{P_k^{e+1}le n}S(frac{n}{P_k^e},k+1)times f(P_k^e)+f(P_k^{e+1})
$$
边界是$(nle 1 )or( P_j>n)$
首先把$f[i]$当成$i-1$求素数和以及素数个数，相减就是素数的和（2要特判一下）然后直接跑合数的就行了
代码
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using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int (int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
int qpow(int a,int b){int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
const int N=1e6 +10;
ll n,sqr;
int prime[N],pre[N],pcnt,v[N];
inline void getprime(int n){
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i])prime[++pcnt]=i;
for(int j=1;j<=pcnt&&(long long)prime[j]*i<=n;j++){
v[i*prime[j]]=1;
if(!i%prime[j])break;
}
}
for(int i=1;i<=pcnt;i++){
pre[i]=add(pre[i-1],prime[i]);
}
}
int h[N];
int g[N];
int m;ll w[N];int id1[N],id2[N];
int S(ll x,ll k){
if(x<=1||prime[k]>x)return 0;
int idd=(x<=sqr)?id1[x]:id2[n/x];
int res=sub(sub(g[idd],h[idd]),sub(pre[k-1],k-1));
if(k==1)res=add(res,2);
for(int i=k;i<=pcnt&&1ll*prime[i]*prime[i]<=x;i++){
ll p1=prime[i],p2=(ll)prime[i]*prime[i];
for(int e=1;p2<=x;++e,p1=p2,p2*=prime[i]){
res=add(res,add(mul(S(x/p1,i+1),prime[i]^e),prime[i]^(e+1)));
}
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);sqr=sqrt(n);getprime(sqr);
for(ll u=1,v;u<=n;u=v+1){
v=n/(n/u);
w[++m]=n/u;
if(w[m]<=sqr)id1[w[m]]=m;
else id2[n/w[m]]=m;
h[m]=(ll)(w[m]-1)%mod;
g[m]=mul((ll)(w[m]+2)%mod,(ll)(w[m]-1)%mod);
if (g[m]&1) g[m]+=mod;g[m]/=2;
}
for(int j=1;j<=pcnt;j++){
for(int i=1;i<=m&&1ll*prime[j]*prime[j]<=w[i];++i){
int idd=(w[i]/prime[j])<=sqr?id1[w[i]/prime[j]]:id2[n/(w[i]/prime[j])];
g[i]=sub(g[i],mul(prime[j],sub(g[idd],pre[j-1])));
h[i]=sub(h[i],sub(h[idd],j-1));
}
}
printf("%dn",add(S(n,1),1));
}
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