【BZOJ4903】

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​ 　　简述题意：给一个序列，询问有多少子序列满足其中不会出现$achoose b$是偶数的情况，其中$a$在$b$前面。

Solution

​ 　　首先探究组合数的奇偶性问题。我们用Lucas定理展开组合数，可以发现一些有趣的性质：

$$
{achoose b}={lfloorfrac a 2 rfloorchoose lfloor frac b2rfloor}{amod2 choose bmod 2}
$$

​ 　　后一个括号的值可以直接算：${0choose 0}={1choose 0}={1choose 1}=1,;;{0choose 1}=0$。这相当于$a$和$b$的二进制最末位的某种计算。

​ 　　而想象一下第一个括号递归计算的过程，实际上是移除了$a$和$b$的二进制最后一位继续计算。到底层时，其值必定是1。

​ 　　所以决定总体奇偶的地方在于第二个括号会不会取0。也就是会不会出现$a$末位为0，$b$末位为1的情况。

​ 　　这整一个过程的实质是什么？相当于比较$a$和$b$的每一位对应二进制。一旦出现$a$某一位为0，$b$对应位为1，则整体为偶数。否则整体为奇数。

​ 　　再进一步考虑，这种条件，相当于判断$b$的1位集合是否是$a$的1位集合的子集，则整体奇数，否则整体偶数。

​ 　　这种关系具有传递性：如果$a$包含$b$，那么$a$包含以$b$开头的合法子序列的每个元素。问题变得非常简单，只需要考虑从哪一个子序列的开头转移：设$f[a]$表示以$a$为开头的子序列个数。枚举$a$的子集$b$，如果$b$在$a$后面，则$f[a]+=f[b]$。

​ 　　总时间复杂度为$mathcal O(3^{log_2n})$。

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Code

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#include <algorithm> using namespace std; const int N=211990,S=233335,MOD=1e9+7; int n,a[N],p[S],f[S]; inline int (int x,int y){return (x+y)%MOD;} inline void upd(int &x,int y){x=plu(x,y);} int main(){ 　　scanf("%d",&n); 　　for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i); 　　int ans=-n; 　　for(int i=n;i>=1;i--){ 　　　　f[a[i]]=1; 　　　　for(int j=(a[i]-1)&a[i];j;j=(j-1)&a[i]) 　　　　　　upd(f[a[i]],f[j]); 　　　　upd(ans,f[a[i]]); 　　} 　　printf("%dn",plu(ans,MOD)); 　　return 0; }