【算法】广度优先搜索

广度优先搜索（breadth first search）

图

最短路径问题（shorterst-path problem）

解决最短路径问题的算法被称为广度优先搜索。

最短路径问题解决步骤

(1) 使用图来建立问题模型。

(2) 使用广度优先搜索解决问题。

图的定义

图模拟一组连接。

图由节点（node）和边（edge）组成。一个节点可能与众多节点直接相连，这些节点被称为邻居。图用于模拟不同的东西是如何相连的。

广度优先搜索

广度优先搜索是一种用于图的查找算法，可帮助回答两类问题。

•   第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？
•   第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？

查找最短路径

在广度优先搜索的执行过程中，搜索范围从起点开始逐渐向外延伸，即先检查一度关系，再检查二度关系。

广度优先搜索不仅查找从A到B的路径，而且找到的是最短的路径。

队列

需要按添加顺序进行检查。可以用队列来实现这种目的

队列类似于栈，不能随机地访问队列中的元素。

队列只支持两种操作：入队和出队。

队列是一种先进先出（First In First Out，FIFO）的数据结构，而栈是一种后进先出（Last InFirst Out，LIFO）的数据结构。

实现图

使用散列表将键映射到值，用来实现图

示例：

>>> graph={}
>>> graph['you']=['alice','bob','claire']
>>> graph
{'you': ['alice', 'bob', 'claire']}
>>> graph['bob']=['anuj','peggy']
>>> graph['alice']=['peggy']
>>> graph['claire']=['thom','jonny']
>>> graph['anuj']=[]
>>> graph['peggy']=[]
>>> graph['thom']=[]
>>> graph['jonny']=[]
>>> graph
{'you': ['alice', 'bob', 'claire'], 'bob': ['anuj', 'peggy'], 'alice': ['peggy'], 'claire': ['thom', 'jonny'], 'anuj': [], 'peggy': [], 'thom': [], 'jonny': []}

　　

键—值对的添加顺序不重要，因为散列表是无序的。

有向图（directed graph）

其中的关系是单向的

无向图（undirected graph）

没有箭头，直接相连的节点互为邻居

实现算法

代码

from collections import deque  #使用函数deque来创建一个双端队列
graph={'you': ['alice', 'bob', 'claire'], 'bob': ['anuj', 'peggy'], 'alice': ['peggy'], 'claire': ['thom', 'jonny'], 'anuj': [], 'peggy': [], 'thom': [], 'jonny': []}
def search(name):
    search_queue=deque()
    search_queue+=graph[name]
    searched=[]                 #这个列表用于记录检查过的元素
    while search_queue:
        person=search_queue.popleft()
        if not person in searched:
            if person_is_seller(person):
                print(person,'is a mango seller!')
                return True
            else:
                search_queue+=graph[person]
                searched.append(person)
    return False

def person_is_seller(name):
    return name[-1]=='m'

search('you')

　　

原理

1. 创建一个队列，用于存储要检查的元素
2. 从队列弹出第一个元素
3. 检查这个元素，是否满足要求。
4. 如果满足返回结果，否则将这个元素的所有邻居加入队列
5. 回到第二步。继续检查这些邻居。
6. 如果队列为空，就说明没有满足条件的元素

停止条件（满足其一）：

•   找到一个满足条件的元素；
•   队列变成空的，这意味队列的所有元素，都没有满足条件

运行时间

广度优先搜索的运行时间为O(V + E)，其中V为顶点（vertice）数，E为边数。

解析：

在整个图中搜索元素，就意味着将沿每条边前行（记住，边是从一个人到另一个人的箭头或连接），因此运行时间至少为O(边数)。

还使用了一个队列，其中包含要检查的每个元素。将一元素添加到队列需要的时间是固定的，

即为O(1)，因此对每个元素都这样做需要的总时间为O(元素个数)。

扩展

1. 树是一种特殊的图，其中没有往后指的边。
2. 如果任务A依赖于任务B，在列表中任务A就必须在任务B后面。这被称为拓扑排序，使用它可根据图创建一个有序列表。

小结

•   广度优先搜索指出是否有从A到B的路径。
•   如果有，广度优先搜索将找出最短路径。
•   面临类似于寻找最短路径的问题时，可尝试使用图来建立模型，再使用广度优先搜索来解决问题。
•   有向图中的边为箭头，箭头的方向指定了关系的方向，例如， rama→adit表示rama欠adit钱。
•   无向图中的边不带箭头，其中的关系是双向的，例如， ross - rachel表示“ross与rachel约会，而rachel也与ross约会”。
•   队列是先进先出（ FIFO）的。
•   栈是后进先出（ LIFO）的。
•   需要按加入顺序检查搜索列表中的元素，否则找到的就不是最短路径，因此搜索列表必须是队列。
•   对于检查过的元素，务必不要再去检查，否则可能导致无限循环。