【算法】动态规划

动态规划

原理

动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。但仅当每个子问题都是离散的，即不依赖于其他子问题时，动态规划才管用

比较方法

可以使用表格法逐个罗列分析，每个表格中填写子问题最优解

示例

包容量为4磅，商品有三件，吉他（$1500），音响($3000)，电脑($2000)，尽可能装下总和最贵的物品

解题思路

网格的各行为商品，各列为不同容量（1～4磅）的背包。所有这些列你都需要，因为它们将

帮助你计算子背包的价值。

	1磅	2磅	3磅	4磅
吉他(G)	$1500 G	$1500   G	$1500   G	$1500   G
音响(S)	$1500 G	$1500 G	$1500 G	$3000 S
电脑(L)	$1500 G	$1500 G	$2000 L	$3500 L G

公式

cell[i][j]=以下两者中较大的那个

1. 上一个单元格的值（即cel[i-1][j]的值）
2. 当前商品的价值+剩余空间的价值（剩余空间的价值: cell[i-1][j-当前商品的重量]）

表格中的行或者列位置变换，不会影响最终结果

动态规划启示

•   动态规划可帮助在给定约束条件下找到最优解
•   在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时，就可使用动态规划来解决。
•   每种动态规划解决方案都涉及网格。
•   单元格中的值通常就是你要优化的值。
•   每个单元格都是一个子问题，因此你应考虑如何将问题分成子问题，这有助于找出网格的坐标轴

最长公共子串

费曼算法（ Feynman algorithm）。

步骤

(1) 将问题写下来。

(2) 好好思考。

(3) 将答案写下来。

此处为抖机灵(ˉ▽￣～) ~~

示例

对比hish与fish或vista哪个的公共子串更长？

•   hish和fish

	H	I	S	H
F	O	O	O	O
I	O	1	O	O
S	O	O	2	O
H	O	O	O	3

•   hish和vista

	V	I	S	T	A
H	O	O	O	O	O
I	O	1	O	O	O
S	O	O	2	O	O
H	O	O	O	O	O

PS: 最终答案并不在最后一个单元格.对于最长公共子串问题，答案为网格中最大的数字

计算方法

1. 如果两个字母不同，值为O
2. 如果两个字母相同，值为左上角邻居的值加1

伪代码实现

if word_a[i]==word_b[j]:
    cell[i][j]=cell[i-1][j-1]+1
else:
    cell[i][j]=0

　　

最长公共子序列

定义

最长公共子序列：两个单词中都有的序列包含的字母数

示例

fosh，对比fish、fort？

最长公共子串方法

•   fosh vs fort

	F	O	S	H
F	1	O	O	O
O	O	2	O	O
R	O	O	O	O
T	O	O	O	O

•   fosh vs fish

	F	O	S	H
F	1	O	O	O
I	O	O	O	O
S	O	O	1	O
H	O	O	O	2

结果相同均为2

最长公共子序列方法

•   fosh vs fort

	F	O	S	H
F	1	1	1	1
O	1	2	2	2
R	1	2	2	2
T	1	2	2	2

•   fosh vs fish

	F	O	S	H
F	1	1	1	1
I	1	1	1	1
S	1	1	2	2
H	1	1	2	3

计算方法

1. 如果两个字母不同，就选择上方和左方邻居中较大的那个
2. 如果两个字母相同，就将当前单元格的值设置为左上方单元格的值加1

伪代码实现

if word_a[i]==word_b[j]:
    cell[i][j]=cell[i-1][j-1]+1
else:
    cell[i][j]=max(cell[i-1][j],cell[i][j-1])

　　

小结

•   需要在给定约束条件下优化某种指标时，动态规划很有用。
•   问题可分解为离散子问题时，可使用动态规划来解决。
•   每种动态规划解决方案都涉及网格。
•   单元格中的值通常就是你要优化的值。
•   每个单元格都是一个子问题，因此需要考虑如何将问题分解为子问题
•   没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。