介绍
使用快速幂来加速矩阵的幂运算。常用来求n很大时递推式$$f(n) = k_1 cdot f(n-1)+k_2 cdot f(n-2)... k_i cdot f(n - i)$$的值
实现和证明
由于矩阵(A)自乘满足交换律，也满足结合律，所以在计算(A^m)时不用担心左乘和右乘的问题，直接套快速幂的模板即可。
如何加速计算递推式(f(n))？以递推式(f(n)=f(n-1)-2f(n-2)+3f(n-3))为例。我们先把系数提出来，然后由矩阵的乘法可以知道
[f(n)=left( egin {array}{cc} 1 & -2 & 3end{array}
ight) cdot left( egin {array}{cc} f(n-1) \ f(n-2) \ f(n-3)end{array}
ight)
]
这样就得到了f(n)。然后为了可以持续计算(f(n+1),f(n+2)...)，通过利用矩阵乘法，我们把(f(n-1),f(n-2))和(f(n))组合起来。
[left( egin {array}{cc} f(n) \ f(n-1) \ f(n-2)end{array}
ight)=left( egin {array}{cc} 1 & -2 & 3 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}
ight) cdot left( egin {array}{cc} f(n-1) \ f(n-2) \ f(n-3)end{array}
ight)
]
就可以得到
[left( egin {array}{cc} f(n) \ f(n-1) \ f(n-2)end{array}
ight)=left( egin {array}{cc} 1 & -2 & 3 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}
ight) ^{n-3} cdot left( egin {array}{cc} f(3) \ f(2) \ f(1)end{array}
ight)
]
这样就可以用矩阵快速幂愉快地求f(n)啦。