CF1208F

题目

给定数列(a)，求(a_i|(a_j & a_k))的最大值，其中(i<j<k)。

题解

很容易想到预先处理(a_j & a_k)。由于(a)的值域为(2 imes 10^{6})，所以可以求出每个数的是否能被与表示出来。对于某个值(i)，如果有(i=j&k)，那么必有(iin j)以及(i in k)，这里(in)的意思是将二进制的1看作集合的元素时的属于关系。所以就是找每个数(i)的超集。事实上，真正想要的是所有(i)的超集中最靠后的两个位置，因为还要或一个数，所以越靠后越优。

即求(P(i)=maxlimits_{i in j}(p(j)))，(p(j))代表(j)所在的位置。这个可以用fwt的思想，分治的方法解决(好像也叫作SOSdp)。

处理完后，对于每个(a_i)，从高位到低位遍历，贪心地看能不能在这一位或上1。假设当前位(p)可以或上1，那么当前或操作的贡献为(d=d|(2^p))，如果(P(d|(2^p))>i)，说明存在(a_j&a_k)可以使得(a_i)或上这个1。最后(a_i)的最大值为(a_i|d)。

时间复杂度(O((n+M)log M))，(M)为值域。

注意事项：

1. 可能有不存在(a_j& a_k)使得(a_i)变大情况，此时不要算上(a_i|d)的贡献。否则就会Wrong answer on test 139

2. 预处理部分(dp)计算没有前后依赖关系，不要写成cdq分治了，即正确写法是算左算右再合并，而不是算右、算右对左的贡献、算左，否则会有重复贡献。

3. 预处理后的步骤想反了，居然想遍历(a_j& a_k)，找(a_i)。太笨了。

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '
'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 3e6 + 10;
const double eps = 1e-5;

typedef pair<int, int> PII;

PII dp[N];

PII upd(const PII& a, const PII& b) {
    int ra, rb;
    if(a.first > b.first) {
        return {a.first, max(a.second, b.first)};
    } else {
        return {b.first, max(b.second, a.first)};
    }    
}

void solve(int l, int r) {
    if(l == r) return ;
    int mid = (l + r) / 2;
    solve(l, mid);
    solve(mid + 1, r);
    for(int i = l; i <= mid; i++) {
        dp[i] = upd(dp[i], dp[i - l + mid + 1]);
    }
    
}


int get(int x) {
    int len = 1;
    while((1 << len) <= x) {
        len++;
    }
    return len;
}

int arr[N];

int main() {
    IOS;
    int n, len = 0, mx = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> arr[i];
        dp[arr[i]] = upd(dp[arr[i]], {i, 0});
        mx = max(mx, arr[i]);
    }
    len = get(mx);
    mx = (1 << len);
    solve(0, mx - 1);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int d = 0;
        bool ok = false;
        for(int j = len - 1; j >= 0; j--) {
            if(!(arr[i] & (1 << j))) {
                if(dp[d | (1 << j)].second > i) {
                    d |= (1 << j);
                    ok = true;
                }
            }
        }
        if(dp[d].second > i) {
            ok = true;
        }
        if(ok) ans = max(ans, arr[i] | d);
    }
    cout << ans << endl;
}