codevs 1516 平均分数 【数学推理+求逆序对】

题目：

    X学校被抽中进行一次数学测验，该学校共有N人，每个人有一个学号，一号学生的学号是1...N号学生的学号是N.
   为了减轻统计的负担，该学校只会随机抽取学号连续的k人(1≤k≤n)，且将该k人的平均分统计出来。小明已经知道了所有人的成绩，小明想知道，平均分在[L,R]上的概率为多少。

【数据范围】

对于30%的数据，N≤10,000

对于100%的数据，N≤1,000,000。

没错，它绿了；

分析：

如果直接暴力用区间枚举，即使用前缀和优化，复杂度依然是O(N^2)，会超时。但如果尝试以下数学推理，问题会发生微妙的变化：

L <= (sum[i]-sum[j]) / (i-j) <= R   ===> tot;（数目）

L <= (sum[i]-sum[j]) / (i-j) ===> L*i-sum[i] <= L*j-sum[j] ===> ans1;（数目）

R < (sum[i]-sum[j]) / (i-j) ===> R*i-sum[i] < R*j-sum[j] ===> ans2;（数目）

易得：tot = ans1-ans2;

注意红色的部分，可以发现他们可以经过专门处理而变成新的数组A,B,接下来我们要做的就是去求数组中的逆序对了。

求逆序对有三种思路：

线段树，树状数组，归并排序；

因为此题中对于L 和 R ，逆序对分别可以和不可以取等，所以用树状数组不好处理，所以只好用归并排序。

注意：当红色的式子中j取1时，需要A[0]和B[0]，因此A[0]和B[0]也是序列中的一部分（虽然是0），它蕴含着所有包含1的逆序对的信息，因此算逆序对时要从(0,N)开始。

下面是参考代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long a[1000010],sum[1000010],tot=0;
long long n,L,R;
bool flag=1;
long long AA[1000010],BB[1000010];
long long temp[1000010]={0};
void mergesort(long long l,long long r,long long f[])
{
 if(l==r) return;
 long long mid=(l+r)/2;
 mergesort(l,mid,f);
 mergesort(mid+1,r,f);
 long long i=l,p=l,j=mid+1;
 while(i<=mid&&j<=r)
 {
  if(f[i]>f[j] || (f[i]==f[j])*flag)
  {
   temp[p++]=f[j++]; 
   tot+=mid-i+1;
  }
  else
   temp[p++]=f[i++];
 }
 while(i<=mid) temp[p++]=f[i++];
 while(j<=r) temp[p++]=f[j++];
 for(int i=l;i<=r;i++)
  f[i]=temp[i];
}
long long gcd(long long x,long long y)
{
 while(x)
 {
  int temp=y%x;
  y=x;
  x=temp;
 }
 return y;
}
int main()
{
 cin>>n>>L>>R;
 for(long long i=1;i<=n;i++)
 {
  cin>>a[i];
  sum[i]=sum[i-1]+a[i];
 }
 for(long long i=0;i<=n;i++)
 {
  AA[i]=L*i-sum[i];
  BB[i]=R*i-sum[i];
 }
 long long ans1=0,ans2=0;
 mergesort(0,n,AA);
 ans1=tot,tot=0;
 flag=0;
 mergesort(0,n,BB);
 ans2=tot;
 tot=ans1-ans2;
 long long cnt=n*(n+1)/2;
 if(cnt==tot)
  cout<<1;
 else if(tot==0)
  cout<<0;
 else
 {
  long long tt=gcd(tot,cnt);
  printf("%lld/%lld",tot/tt,cnt/tt);
 }
 return 0;
}