noip2017考前基础复习——数论数学

·最大公约数 gcd

辗转相除法  gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

int gcd(int x,int y){
    if(y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);    
}

效率O(logn)

·最小公倍数 lcm

可由最大公约数推来 lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

int lcm(int x,int y){
    int p=gcd(x,y);
    return a*b/p;
}

效率O(logn)

·扩展欧几里得 extgcd

求ax+by=gcd(a,b)的整数对(x,y)

也可由gcd推过来

推导过程：

ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

假设求出 bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b)

那么整理可得 bx'+(a-(a/b)*b)y'=gcd(b,a%b)

ay'+b(x'-(a/b)*y')=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

故 x=y'  y=x'-(a/b)*y'

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //返回值为gcd(a,b)
    if(b==0) {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int d=extgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}

可用于求同余方程、逆元

效率O(logn)

·素数筛

线性筛法，很好理解

由于每个合数都只会被筛掉一次，复杂度O(n)

void Get_Prime(int n){
    p[0]=p[1]=0;
    cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1;  //先标记2~n都为素数
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(p[i]) prime[++cnt]=i;  //i为素数
        for(int j=1;j<=cnt && (long long)i*prime[j]<=n;j++){
            p[i*prime[j]]=1;  //每个合数都只被自己最小质因子筛掉
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

·欧拉函数 phi

求小于n与n互素的数的个数

phi[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)……  其中p1,p2,p3为i的质因数

可以在线性筛素数的同时求，复杂度O(n)

void get_phi(){
    p[0]=p[1]=0;cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(p[i]==1) phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt && (ll)i*prime[j]<=n;j++){
            p[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;    
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    } 
}

·快速幂

可以把幂想成一个二进制数来理解

int Power_Mod(int x,int y){  //求x的y次方
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret*=x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

效率O(logn)

·排列组合

1）加法原理：做一件事有n类做法，第n类有m[n]种做法，总做法数为m[1]+m[2]+...+m[n]

2）乘法原理：做一件事有n个步骤，第n个步骤有m[n]中做法，总做法数为m[1]*m[2]*...*m[n]

    乘法原理可以说是加法原理的特殊情况

3）容斥原理   **这很重要**

    例如：求gcd(1~m,1~n)=k的数对有多少

        设满足条件的数对有f(k)个

        则f(k)=(m/k)*(n/k)-f(2*k)-f(3*k)-f(4*k)-……从后往前递推计算即可

4）排列：A(m,n)=m!/(m-n)!  (m>n)

5）组合：C(m,n)=m!/((m-n)!*n!)  (m>n)

    如何求组合数？

    法一：C(m,n)=C(m,n-1)*(m-n+1)/n

    法二：杨辉三角  C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)

·概率与数学期望

1）概率：P(A)=m/n  （可理解为事件A发生的频率）

    互相独立的事件A与B 满足 P(A*B)=P(A)*P(B)

2）数学期望：随机变量X的数学期望EX是所有可能的值按照概率加权的和

    期望的线性性质：E(X+Y)=E(X)+E(Y)

未完待续……