KMP——强大的next数组

(KMP) 的原理不在这里仔细讲了，主要说说最近刷题总结出的 (next) 数组的强大功能。
部分例题来自《信息学奥赛一本通》的配套练习。

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基于定义——字符串相同前后缀

“基于定义”：我们求的 (next) 数组就是字符串到某一位时最长相同前后缀的长度。
注意 (next) 数组求的为“最长”的，那如果想知道一个字符串所有相同的前后缀长度咋办？

举个栗子：

假设一个 (n) 位的字符串（下标从 (1) 到 (n)），(next[n]=p)
那么该字符串的子串 ([1,p]) 与 ([n-p+1,n]) 应是相同的
设 (next[p]=q) ，那么子串 ([1,q]) 与 ([p-q+1,p]) 是相同的
综上，子串 ([1,q]) 与 ([n-q+1,n]) 是相同的，即 (next[next[n]]) 也是该字符串相同前后缀长度

就这样 (next) 一遍遍向前找，直到某一位的 (next) 为 (0)， 拓展出一棵 (next) 树（也叫 (fail) 树）。

例题 (bzoj3620)

(PROBLEM:)
求一个长度为 (n) 的字符串所有形似 (A+B+A) , 且 (len(A) geq k,len(B) geq 1) 的子串数目。
(n leq 15000)

(SOLUTION:)
一个奇妙的事情是这个题 (O(n^2)) 能过。
于是枚举每一位为起点，(KMP) 的过程中，(next) 值相当于这一段子串 (len(A)) 的最大值
如果它小于 (k) ，显然不行。
而若 (它 imes 2+1 > 子串长度) 也不行。
所以需要找到合适的 (len(A)) 满足 (len(A) geq k) 且 (len(A) imes 2 +1 leq 子串长度)
这就用到 (next) 树的思想了！
还有一个小优化，用一个数组记录某一段 (geq k) 的最短的相同前后缀长度，把它作为 (len(A)) 判断比较快。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
 
using namespace std;
 
const int N = 15005;
 
char s[N];
int nxt[N],KK,ok[N],ans;
 
void KMP(char p[]){
    int len=strlen(p+1),k=0;
    nxt[1]=0; ok[0]=ok[1]=-1;
    for(int i=2;i<=len;i++){
        while(k && p[i]!=p[k+1]) k=nxt[k];
        if(p[i]==p[k+1]) k++;
        nxt[i]=k;
         
        if(k<KK) { ok[i]=-1; continue; }
        if(ok[k]==-1) ok[i]=k;
        else ok[i]=ok[k];
        if(ok[i]*2+1<=i) ans++;
    }
}
 
int main()
{
    int len;
    scanf("%s",s+1);
    scanf("%d",&KK);
    len=strlen(s+1);
     
    for(int i=1;i<=len;i++) {
        if(KK*2+1>len-i+1) break;
        KMP(s+i-1);
    }
    printf("%d
",ans);
     
    return 0;
}

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拓展功能——字符串循环节

“拓展”：这里的主角为 (n-next[n])

还是举个栗子：

上图中 (n-next[n]=3) ，那 (3) 是什么呢？
看那些棕圈圈，(3) 其实可以叫做字符串的 “类”循环节，因为字符串并不是由这个循环节完完整整组成的。

而若一个字符串有真正的循环节要满足什么条件呢？
答案是 (n-next[n]) 整除 (n)
同样举个栗子就明了了：

对于所有字符串， (n-next[n]) 只是它最短的循环节（类循环节），其他循环节（类循环节）的长度通过 (next) 一遍遍向前找求出。
还是 (next) 树的思想，结合栗子即可证明，这里就不赘述了。

！！！
注意：有真正循环节的字符串，所有循环节长度都为最短循环节长度的倍数。而类循环节并不满足这一性质！

例题1 (bzoj1511)

(PROBLEM:)
一个串是有限个小写字符的序列,特别的,一个空序列也可以是一个串. 一个串 (P) 是串 (A) 的前缀, 当且仅当存在串 (B) , 使得 (A = PB). 如果 (P eq A) 并且 (P) 不是一个空串,那么我们说 (P) 是 (A) 的一个 (proper) 前缀. 定义 (Q) 是 (A) 的周期, 当且仅当 (Q) 是 (A) 的一个 (proper) 前缀并且 (A) 是 (QQ) 的前缀(不一定要是 (proper) 前缀). 比如串 (abab) 和 (ababab) 都是串 (abababa) 的周期. 串 (A) 的最大周期就是它最长的一个周期或者是一个空串(当 (A) 没有周期的时候), 比如说, (ababab) 的最大周期是 (abab). 串 (abc) 的最大周期是空串. 给出一个串,求出它所有前缀的最大周期长度之和.
(串长度 leq 10^6)

(SOLUTION:)
其实题中说的最大周期就是 ( eq A) 的最长“类循环节”
(next) 树的思想，用一个数组记录每个“点”在该“树”上最小的非零祖先，否则会超时

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1000005;
typedef long long ll;

int n;
int nxt[N],snxt[N];
char s[N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",s+1);
	
	ll ans=0;
	int k=0;
	nxt[1]=0; snxt[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		while(k && s[i]!=s[k+1]) k=nxt[k];
		if(s[i]==s[k+1]) k++;
		nxt[i]=k; 
		snxt[i]=(k?snxt[k]:i);
		ans+=i-snxt[i];
	}
	printf("%lld
",ans);
	
	return 0;
}

例题2 (bzoj4974)

(PROBLEM:)
一个串 (T) 是 (S) 的循环节，当且仅当存在正整数 (k)，使得 (S) 是 (T^k) (即 (T) 重复 (k) 次)的前缀，比如 (abcd) 是 (abcdabcdab) 的循环节。给定一个长度为 (n) 的仅由小写字符构成的字符串 (S)， 请对于每个 (k(1 leq k leq n))，求出 (S) 长度为 (k) 的前缀的最短循环节的长度 (per_i) 。小 (Q) 告诉你 (n) 以及 (per_1,per_2,...,per_n)，请找到一个长度为 (n) 的小写字符串 (S)，使得 (S) 能对应上 (per) 。
(n leq 10^5)

(SOLUTION:)
可以发现，(per_i) 值其实就是最短“类循环节”长度，也就是 (n-next[i])
于是我们可以求出所有 (next) 值，然后进行逆向 (KMP) ，得出原字符串。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N = 100005;
 
int n;
int nxt[N],vis[26];
char s[N];
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&nxt[i]),nxt[i]=i-nxt[i];
     
    s[1]='a';
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(nxt[i]!=0) { s[i]=s[nxt[i]]; continue; }
        for(int j=0;j<26;j++) vis[j]=0;
        int k=nxt[i-1];
        while(k!=0) vis[s[k+1]-'a']=1,k=nxt[k];
        vis[s[k+1]-'a']=1;
        for(int j=0;j<26;j++)
            if(!vis[j]) { s[i]='a'+j; break; }
    }
    printf("%s",s+1);
     
    return 0;
}