[bzoj2721] [Violet 5] 樱花

Description

求不定方程 (frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{n!}) 的正整数解 ((x,y)) 的对数。

Input

一个整数 (n)。

Output

一个整数，表示有多少对 ((x,y)) 满足题意。答案模 (10^9+7)

Sample Input

2

Sample Output

3

HINT

(30\%) 满足 (n leq 100)
(100 \%) 满足 (n leq 10^6)

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题解

推一推就出来啦~
不妨设 (x leq y)
原方程变形可得 (y=frac{n!x}{n!-x})
设 (z=n!-x) ，则 (y=frac{n!(n!-z)}{z})
要求 (y) 为整数，所以 (z mid n!(n!-z))

对 (z) 分两种情况讨论：

1. (z mid n!) 那没得说
2. (z otmid n!) ：设 ((n!,z)=g1) , 那么 (frac{z}{g1} mid (n!-z))
   又因为 (frac{z}{g1} mid z) ，所以 (frac{z}{g1} mid n!) ，即 (z mid (n!)^2)

于是这道题就是求 ((n!)^2) 的约数个数，分解质因数，然后指数加一连乘。

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代码

又 (get) 到了新技能（虽然不是第一次了）：分解质因数更快的技巧——线性筛素数，记下每个数最小质因子的序号。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define Mod 1000000007

using namespace std;

const int N = 1000005;
typedef long long ll;

int n,m;
int p[N],pnum,prime[N],mn[N];
void getp(){
	for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(p[i]) prime[pnum++]=i,mn[i]=pnum-1;
		for(int j=0;j<pnum && (ll)prime[j]*i<=n;j++){
			p[prime[j]*i]=0; mn[prime[j]*i]=j;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
int c[N];
void cal(int x){
	while(x!=1){
		c[mn[x]]++;
		x/=prime[mn[x]];
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	
	getp();
	for(int i=2;i<=n;i++) cal(i);
	
	int ans=1;
	for(int i=0;i<pnum;i++) ans=((ll)ans*(c[i]*2+1))%Mod;
	printf("%d
",ans);
	
	return 0;
}