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图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包 |
lindexi |
2018-2-13 17:23:3 +0800 |
2018-2-13 17:23:3 +0800 |
我们来说下有向图，一般的有向图也是图，图可以分为稠密图，稀疏图，那么从意思上，稠密图就是点的边比较多，稀疏图就是边比较少的图。为什么稠密图放在矩阵比较省空间，因为邻接表在边之间存储需要多余的指针，而矩阵不需要。
下面这张图：http://blog.csdn.net/tham_/article/details/46048063
我们只说有向图，我们把有向图存在矩阵
我们先说Warshall，假如我们有一张图
我们把这张图存储在矩阵
首先是a，a可以直接到b，那么ab就�首先我们先说下图论，一般图存储可以使用邻接矩阵，或邻接表，一般使用邻接矩阵在稠密图比较省空间。
我们来说下有向图，一般的有向图也是图，图可以分为稠密图，稀疏图，那么从意思上，稠密图就是点的边比较多，稀疏图就是边比较少的图。为什么稠密图放在矩阵比较省空间，因为邻接表在边之间存储需要多余的指针，而矩阵不需要。
下面这张图：http://blog.csdn.net/tham_/article/details/46048063
我们只说有向图，我们把有向图存在矩阵
我们先说Warshall，假如我们有一张图
我们把这张图存储在矩阵
首先是a，a可以直接到b，那么ab就是1 接着就是b，b可以直接到c，那么bc就是1
| Warshall | a | b | c | d | e |
|---|---|---|---|---|---|
| a | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| d | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| e | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
那么Warshall怎么做，他需要做个十字形，因为有个定理，
$$ R_{ij} = R_{ik} cup R_{kj} $$
其中ijk都是从0到n，这里n是点个数
那么我们得到的第一个矩阵，叫做$$ R^0 $$ 那么由第一个矩阵变化出第二个矩阵就叫$$ R^1 $$ 然后一直到n，这里n是点个数
如何变化，其实很简单，做个十字，这里说的十字是
那么我们第一个公式就可以来
我们选择一个点
如果在十字两个都是1，那么这个点也就改为1，因为图里只有一个点可以修改，所以修改完就是
$$R^1$$
接着我们把十字修改
那么发现有两个点，加粗db是上次修改的
我们可以发现ac和dc都是可以修改
那么继续修改
修改后
| Warshall | a | b | c | d | e |
|---|---|---|---|---|---|
| a | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| b | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| c | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| d | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| e | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
因为我们从a到d都是可以到达，所以都为1，因为存在d可以到e，所以所有点都可以到e，因为e本身没有到任何点，所以为0
那么Floyd是什么，其实就是把原先的矩阵1改为数字
Floyd是可以算图中任意两个点的最短路径
那么说道这，我们需要带权有向图
带权就是两个点之间的边有个权，放在矩阵就是可以相连的两个点之间的ij为权
1
| Warshall | a | b | c | d | e |
|---|---|---|---|---|---|
| a | 0 | 5 | $$infty$$ | $$infty$$ | $$infty$$ |
| b | $$infty$$ | 0 | 2 | $$infty$$ | $$infty$$ |
| c | $$infty$$ | $$infty$$ | 0 | 1 | $$infty$$ |
| d | 6 | 15 | $$infty$$ | 0 | 1 |
| e | $$infty$$ | $$infty$$ | $$infty$$ | $$infty$$ | 0 |
我们和之前Warshall一样做十字，然后判断是得到
$$R_{ij}=min{R_{ij},R_{ik}+R_{kj}}$$
那么这样就可以得到任意两点路径
算法复杂$$O(n^3)$$
在Warshall是判断两个都为1，修改，Floyd判断两个加起来的值比当前的小，修改