双线性插值 - 走看看

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双线性插值

双线性插值，这个名字咋一听很高大上的样纸，再在维基百科上一查（见文末，我去，一堆的公式吓死人），像俺这种半文盲，看到公式脑子就懵的类型，真心给跪。虽然看着好复杂，但仔细一看道理再简单不过了，所以还是自己梳理一下好。
双线性插值，顾名思义就是两个方向的线性插值加起来（这解释过于简单粗暴，哈哈）。所以只要了解什么是线性插值，分别在x轴和y轴都做一遍，就是双线性插值了。
线性插值的概念也非常简单粗暴，就是两个点A，B，要在AB中间插入一个点C（点C坐标在AB连线上），就直接让C的值落在AB的值的连线上就可以了。
如A点坐标(0,0),值为3，B点坐标(0,2)，值为5，那要对坐标为(0,1)的点C进行插值，就让C落在AB线上，值为4就可以了。
但是如果C不在AB的线上肿么办捏，所以就有了双线性插值。如图，已知Q12，Q22，Q11，Q21，但是要插值的点为P点，这就要用双线性插值了，首先在x轴方向上，对R1和R2两个点进行插值，这个很简单，然后根据R1和R2对P点进行插值，这就是所谓的双线性插值。

附：维基百科--双线性插值：
双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。
假如我们想得到未知函数 $f$ 在点 $P=left( x, y ight)$ 的值，假设我们已知函数 $f$ 在 $Q_{11} = left( x_1, y_1 ight)$ , $Q_{12} = left( x_1, y_2 ight)$ , $Q_{21} = left( x_2, y_1 ight)$ , 及 $Q_{22} = left( x_2, y_2 ight)$ 四个点的值。
首先在 x 方向进行线性插值，得到

$f(R_1) approx frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) quadmbox{Where}quad R_1 = (x,y_1),$
$f(R_2) approx frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) quadmbox{Where}quad R_2 = (x,y_2).$

然后在 y 方向进行线性插值，得到

$f(P) approx frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

这样就得到所要的结果 $f left( x, y ight)$ ,

$f(x,y) approx frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)$
$+ frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).$

如果选择一个坐标系统使得 $f$ 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

$f(x,y) approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

或者用矩阵运算表示为

$f(x,y) approx egin{bmatrix} 1-x & x end{bmatrix} egin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \ f(1,0) & f(1,1) end{bmatrix} egin{bmatrix} 1-y \ y end{bmatrix}$

与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法的结果通常不是线性的，它的形式是

$b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y. \,$

常数的数目都对应于给定的 f 的数据点数目

$b_1 = f(0,0)$
$b_2 = f(1,0) - f(0,0)$
$b_3 = f(0,1) - f(0,0)$
$b_4 = f(1,1) - f(1,0) - f(0,1) + f(0,0)$

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。

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