最短路径算法专题2----Dijkstra

这个算法适用于求单源最短路径，从一点出发，到其余个点的最短路径。

算法要点：

1、用二维数组存放点到点的距离-----不能相互到达的点用MAX代替距离

2、用dis数组存放源点到任意其他一点的距离----dis【5】表示源点到5点的距离为dis【5】中的值

3、用book数组记录已经确定最小dis的点

4、用index和indexNumber存放估计值的点

5、从源点到这个点如果比中间加上估计值的点还要长，就松弛

算法模型：

for(循环N次)

｛

        for(循环找到估计值点)

        ｛

               估计值点是现在的dis中距离源点最近的点。

        ｝

         book数组记录已经走过这个估计值点

         for(循环N次)

        ｛

               if（dis【循环值】> dis【估计值】+maps【估计值】【循环值】）//从源点到这个点如果比中间加上估计值的点还要长，就松弛

                    dis【循环值】=  dis【估计值】+maps【估计值】【循环值】

        ｝

｝

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>

using namespace std;
/*Dijkstra*/

int dis[100];
int book[100];
int maps[100][100];
const int MAX = 99999;//定义一个最大值，距离不会超过这个

int main()
{
    int i,j,q;//循环变量
    int n,m;
    int x,y,z;
    int index,indexNumber;//离当前点最近的点的坐标和坐标
    cin>>n>>m;//输入N*N的图，和M条边对应的值

    for (i = 1; i <= n; i++)//初始化dis距离
        dis[i] = MAX;

    for (i = 1; i <= n; i++)//初始化maps里面的所有距离
        for (j = 1; j <= n; j++)
            if(i != j)
            maps[i][j] = MAX;
            else
            maps[i][j] = 0;

    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin>>x>>y>>z;//输入x到y的距离为z
        maps[x][y] = z;
        if(x==1)
            dis[y] = z;//如果是x=1，那么就是1点到别的点的距离，用dis保存
    }

    dis[1] = 0;//自己到自己肯定是0
    book[1] = 1;//默认从1点开始找
    for (q = 1; q <= n; q++)
    {
        index=0;
        indexNumber = MAX;
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(book[j] == 0)
            {
                if(dis[j] < indexNumber)
                {
                    indexNumber = dis[j];
                    index = j;
                }
            }
        }

        book[index] = 1;//证明这个点已经来过
        for (i = 1; i <= n; i++)//循环N次
        {
            if(book[i] == 0 && maps[index][i] != MAX)//松弛过的点和不可能通过松弛的点先扔掉
            {
                if(dis[i] > dis[index] + maps[index][i])//从1点到这个点如果比中间加上index点还要长，就松弛
                {
                    dis[i] = dis[index] + maps[index][i];
                }
            }
            
        }
    }

    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout<<dis[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
}

/*
测试数据
6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4
R:0 1 8 4 13 17
*/

这个算法还能根据实际情况去优化，时间复杂度还能减少，优化下次再继续研究。

需要注意的是，这个算法利用贪心的思想，尽可能找到最短中的最短，已经最短的了，就已经是最短的了，就不变了，也就是为什么会有book数组去标识这个点是不是已经是一个确定的值，已经是最短的了，但是这样的话就不能处理负数距离的情况，所以还是有一定的使用范围的，使用时需要注意。