[数据结构]后缀自动机

前言

对于字符串 (s) ，(|s|) 表示s的长度
对于字符集 (A) , (|A|) 表示 (A) 的大小
本文字符串下标一律从0开始。
本文字数较多，如有错别字或者概念性错误，请联系博主或在下方回复。

SAM

后缀自动机 (suffix automaton, SAM) 是一种解决多种字符串问题的数据结构。
SAM基于一个字符串构建的，是给定字符串的所有子串的压缩形式。
标准定义为: 字符串 (s) 的SAM是一个接受 (s) 的所有后缀的最小 ( exttt{DFA}) (确定性有限自动机或确定性有限状态自动机)
我们记 (t_0) 为字符串的一个虚拟源点，事实上这种操作(构造虚拟节点)应用非常广泛。
那么SAM应当是:

1. 有向无环图，节点为状态，边叫做转移
2. 所有节点都可以由 (t_0) 到达
3. 每个转移代表一个字母，且任意一个状态的出边的字母不同
4. 存在一个或多个终止状态，使得从 $t_0 $ 到终止状态上的所有转移依访问顺序排列，对应原字符串 (s) 的某个后缀，且 (s) 的任何后缀均可以上述方式描述。
5. SAM是满足以上的条件节点数最小的自动机
   简单来说，没有后缀链接的SAM是一棵以 (t_0) 为源点的无向图。这个图的名字叫做后缀链接树。

没有后缀链接的SAM的样子

目前您暂且不需要知道后缀链接是什么。

• 空串
  
• 字符串 s = "a"
  
• 字符串 s = "abbb"
  
  ( iny exttt{借用一下oi-wiki中的图片})

字串的性质

SAM上的任意路径与字符串 (s) 字串相互映射(可以互相表示)
注意上面这点非常重要。

结束位置

结束位置，通常记作endpos，就是子串在原串中的某一个匹配的最后一个字符在原串中的下标。
我们注意到一个子串的endpos并不唯一，所以结束位置应该时一个集合。
结束位置集合，通常记作endpos集合，表示一个子串在字符串中的所有结束位置。
举个例子，字符串 "abbbabbb" 的子串 "ab" 的endpos集合为{1,5}，

后缀链接

长话短说，后缀链接连接了两个不同的endpos集合，
也就意味着从当前状态最长后缀的endpos集合，跳转到另外的endpos。
就是连接当前子串最长的"与当前子串 endpos 的不同的后缀"与该子串所属状态的边。

后缀链接树

SAM中所有后缀链接构成的树叫做后缀链接树。
后缀链接树非常重要，因为我们后续的针对题目的大部分操作都是在后缀链接树上进行的。

构造SAM

• 读入需要的字符 c
• 创建一个新的状态 (cur) ，并把它的 (len) 置为上一个状态+1
• 从上一个状态延链接向前跳跃，更新沿途的 (next) ，直到跳跃到空或者发现了一个状态 (p) ，(p) 已经存在到字符 c 的转移
• 将 (p) 通过字符 c 转移到状态即为 (q)
• 如果(len_p + 1 = len_q)，很简单，将 (cur) 的后缀链接连到 (q) 并结束算法。
• 否则，"复制(copy)" (q) 至一个新的克隆节点记为 (clone) ，将 (clone) 的 (len) 重新设为 (len_p+1) ，然后将 (cur) 和 (q) 的后缀链接指向 (clone) 。最终我们需要使用后缀链接从状态 (p) 往回走，只要存在一条通过 (p) 到状态 (q) 的转移，就将该转移重定向到状态 (clone)

代码

原题参照洛谷[模板]后缀自动机。

map版( (O_2) )

时空需求都较高，但是稳定，可以处理任意字符。
对 (O_2) 需求很高。

#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <string>
#include <map>

using namespace std;

const int MAXN = 3000005;

int sz[3000005];

struct SAM{
	int size, last;
	struct Node{
		int len, link;
		map<char, int> next;
	} nodes[MAXN];
	void init(){
		nodes[0].len = 0, nodes[0].link = -1;
		size = 1; last = 0;
	}
	void insert(char ch){
		int cur = size++, p; nodes[cur].len = nodes[last].len + 1; sz[cur] = 1;
		for (p = last; ~p && !nodes[p].next.count(ch); p = nodes[p].link)
			nodes[p].next[ch] = cur;
		if (p == -1)
			nodes[cur].link = 0;
		else{
			int q = nodes[p].next[ch];
			if (nodes[p].len + 1 == nodes[q].len)
				nodes[cur].link = q;
			else{
				int clone = size++;
				nodes[clone].len = nodes[p].len + 1;
				nodes[clone].next = nodes[q].next;
				nodes[clone].link = nodes[q].link;
				for ( ; ~p && nodes[p].next[ch] == q; p = nodes[p].link)
					nodes[p].next[ch] = clone;
				nodes[q].link = nodes[cur].link = clone;
			}
		}
		last = cur;
	}
	void build(char *buf, int len = 0){
		if (!len) len = strlen(buf);
		for (int i = 0; i < len; ++i)
			insert(buf[i]);
	}
} sam;

struct Edge{
	int to, next;
} edges[6000005];

int head[3000005], edge_num;

inline void addEdge(int u, int v){
	edges[++edge_num] = (Edge){v, head[u]};
	head[u] = edge_num;
}

inline void buildParentTree(){
	for (int i = 1; i < sam.size; ++i)
		addEdge(sam.nodes[i].link, i);
}

long long ans = 0;

void DFS(int u){
	for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
		int v = edges[c_e].to;
		DFS(v); sz[u] += sz[v];
	}
	if (sz[u] > 1)
		ans = max(ans, 1ll * sz[u] * sam.nodes[u].len);
}

char ch[1000005];

int main(){
	sam.init(); scanf("%s", ch);
	sam.build(ch); buildParentTree();
	string s = ch;
	DFS(0);
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

数组版

时空需求较低，但是只能处理字母类问题。

#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <string>

using namespace std;

const int MAXN = 3000005;

int sz[3000005];

struct SAM{
	int size, last;
	struct Node{
		int len, link;
		int next[26];
	} nodes[MAXN];
	void init(){
		nodes[1].len = 0, nodes[1].link = 0;
		size = 2; last = 1;
	}
	void insert(char ch){
		int cur = size++, p; nodes[cur].len = nodes[last].len + 1; sz[cur] = 1;
		for (p = last; p && !nodes[p].next[ch - 'a']; p = nodes[p].link)
			nodes[p].next[ch - 'a'] = cur;
		if (!p)
			nodes[cur].link = 1;
		else{
			int q = nodes[p].next[ch - 'a'];
			if (nodes[p].len + 1 == nodes[q].len)
				nodes[cur].link = q;
			else{
				int clone = size++;
				nodes[clone].len = nodes[p].len + 1;
				memcpy(nodes[clone].next, nodes[q].next, sizeof(nodes[q].next));
				nodes[clone].link = nodes[q].link;
				for ( ; p && nodes[p].next[ch - 'a'] == q; p = nodes[p].link)
					nodes[p].next[ch - 'a'] = clone;
				nodes[q].link = nodes[cur].link = clone;
			}
		}
		last = cur;
	}
	void build(char *buf, int len = 0){
		if (!len) len = strlen(buf);
		for (int i = 0; i < len; ++i)
			insert(buf[i]);
	}
} sam;

struct Edge{
	int to, next;
} edges[6000005];

int head[3000005], edge_num;

inline void addEdge(int u, int v){
	edges[++edge_num] = (Edge){v, head[u]};
	head[u] = edge_num;
}

inline void buildParentTree(){
	for (int i = 2; i < sam.size; ++i)
		addEdge(sam.nodes[i].link, i);
}

long long ans = 0;

void DFS(int u){
	for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
		int v = edges[c_e].to;
		DFS(v); sz[u] += sz[v];
	}
	if (sz[u] > 1)
		ans = max(ans, 1ll * sz[u] * sam.nodes[u].len);
}

char ch[1000005];

int main(){
	sam.init(); scanf("%s", ch);
	sam.build(ch); buildParentTree();
	string s = ch;
	DFS(1);
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

参考资料及文献

①: oier-wiki > 字符串 > 后缀自动机