原博客地址：https://blog.csdn.net/smartab/article/details/81215940
中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
详细解释：http://blog.csdn.net/antineutrino/article/details/6763722/
给出一个中缀表达式如下：
a+b*c-(d+e)
第一步：按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号，
式子变成了：((a+(b*c))-(d+e))
第二步：转换前缀与后缀表达式
前缀：把运算符号移动到对应的括号前面
则变成了：-( +(a *(bc)) +(de))
把括号去掉：-+a*bc+de 前缀式子出现
后缀：把运算符号移动到对应的括号后面
则变成了：((a(bc)* )+ (de)+ )-
把括号去掉：abc*+de+- 后缀式子出现
<1> 将中缀表达式“1+((2+3)*4)-5”转换为前缀表达式。
（1）构建两个栈，一个存运算符一个存操作数。运算符（以括号分界点）在栈内遵循越往栈顶优先级不降低的原则排序。
（2）从右往左扫描中缀式表达式，从右边第一个字符开始判断。
如果当前字符是数字，则分配到数字串的结尾并将数字串直接输出。
如果是运算符，则比较优先级。如果当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶是括号时，直接入栈)，则将运算符直接入栈；否则将栈顶运 算符出栈并输出，直到当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶元素是括号直接入栈)，再将当前运算符入栈。如果是括号，则根据括号的 方向进行处理。如果是括号直接入栈；否则，遇右括号前将所有的运算符全部出栈并输出，遇右括号后将左右的两括号一起删除。
（3）重复上述操作(2)直至扫描结束，将栈内剩余运算符全部出栈并输出，再将缀输出字符串。中缀表达式就变成了前缀表达式了。
|
中缀表达式 |
前缀表达式 |
（栈顶）运算符栈（栈尾） |
说明 |
|
5 |
5 |
空 |
5，是数字串直接输出 |
|
- |
5 |
- |
-，栈内无运算符，直接入栈 |
|
） |
5 |
-） |
)，直接入栈 |
|
4 |
5 4 |
-） |
4，是数字串直接输出 |
|
* |
5 4 |
-）* |
*，栈顶是括号，直接入栈 |
|
) |
5 4 |
- ) * ) |
)，直接入栈 |
|
3 |
5 4 3 |
- ) * ) |
3，是数字串直接输出 |
|
+ |
5 4 3 |
- ) * ) + |
+，栈顶是括号，直接入栈 |
|
2 |
5 4 3 2 |
- ) * )+ |
2，是数字串直接输出 |
|
( |
5 4 3 2+ |
- ) * |
(， |
|
( |
5 4 3 2+* |
- |
(， |
|
+ |
5 4 3 2+* |
-+ |
+，优先级大于等于栈顶运算符，直接入栈 |
|
1 |
5 4 3 2+*1 |
-+ |
1，是数字串直接输出 |
|
空 |
5 4 3 2+*1+- |
空 |
扫描结束，将栈内剩余运算符全部出栈并输出 |
|
空 |
- + 1 * + 2 3 4 5 |
空 |
逆缀输出字符串 |
【2】中缀表达式转换为后缀表达式
过程和【1】差不多，只不过是从左往右扫描，方向换了一个，其他一样。
还是这个式子：1+((2+3)*4)-5
|
中缀表达式 |
后缀表达式 |
（栈顶）运算符栈（栈尾） |
说明 |
|
1 |
1 |
空 |
1，是数字串直接输出 |
|
+ |
1 |
+ |
+，栈内无运算符，直接入栈 |
|
（ |
1 |
+（ |
（，直接入栈 |
|
（ |
1 |
+（（ |
（，直接入栈 |
|
2 |
1 2 |
+（（ |
2 ，数字 |
|
+ |
1 2 |
+（（+ |
+，直接入栈 |
|
3 |
1 2 3 |
+（（+ |
3，是数字串直接输出 |
|
） |
1 2 3 + |
+（ |
碰到 ）找到（之前所有符号弹出出 |
|
* |
1 2 3 + |
+（* |
* |
|
4 |
1 2 3 + 4 |
+（* |
4 |
|
） |
1 2 3 + 4 * |
+ |
碰到 ）找到（之前所有符号弹出出 |
|
- |
1 2 3 + 4 * |
+ - |
- |
|
5 |
1 2 3 + 4 *5 |
+ - |
5 |
|
空 |
1 2 3 + 4 *5 - + |
空 |
扫描结束 |
|
空 |
1 2 3 + 4 *5 - + |
空 |
逆缀输出字符串 |
后缀表达式逆向求解中缀表达式
1 2 3 + 4 *5 - +
基本思路和上面的一样：递归，碰到操作符就进入递归。
从左往右扫描先碰到+号，取+号前面两个操作数：2，3 得到：2+3.
继续往下扫碰到*号，取4 和2+3 得到：（2+3）*4
-号，取（2+3）*4和5得到：：（2+3）*4-5
+号：取（2+3）*4-5和1得到：：1+（2+3）*4-5