KMP【模板】 && 洛谷 P3375

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解题思路:

首先说KMP的作用:对于两个字符串A,B(A.size() > B.size()),求B是否是A的一个字串或B在A里的位置或A里有几个B,说白了就是字符串匹配.

下面创设一个问题背景 : 有两个字符串A,B,求B在A中的位置.

A : abcdcbd

B: cdcb

对于上述问题,我们最先想到也就是最暴力的办法,就是把B整体从1~7每次一格的往右挪,每往挪一格,便把B从头到尾跟A匹配一遍,直到匹配不成功或全部匹配成功,如果匹配不成功,就再整体往右挪一格,这样的时间复杂度最坏可以达到O(nm).

如果字符串再长一点,长度达到1e6,显然暴力是会TLE的,那我们就要考虑优化,上述做法唯一能优化的地方就是往右挪的方式,因为一格一格的挪实在是太笨了,所以我们就要想怎样才能挪的快而且正确呢?

很容易想到的是1.直接移到B的后一位 2.移到失配的位置 ,而这两种做法都是可以被推翻的,见图:

那我们就只能甘于暴力吗?不,所以我们要学习KMP,进入正题:

对于学习KMP,要明白几个重要概念:

对于一个字符串A': abcddc

1.前缀:a,ab,abc,abcd,abcdd.

2.后缀:c,dc,ddc,cddc,bcddc.(前缀和后缀都不包括其本身)

然后我们来看一下KMP的伪代码:

while(i < a.length() && j < b.length()) {
    if(当前位置匹配) i++,j++;
    else j = kmp[j];  //跳到一个特定的位置 
}
if(j == b.length()) 成功
else 失败 

看完后发现其实KMP的核心,就是求kmp[j](大多数人称为next[j]),下面就来说一下kmp[j]怎么求.

kmp[i]表示的是长度为i(1~i)的字符串的最长公共前后缀的长度.(以下的j皆为不包括本次字符求得的最长公共前后缀长度,其实也就是枚举前缀的长度)

例: P: a b c d a b c 

kmp[]:0 0 0 0 1 2 3

求当前kmp[i],可以分两种情况:

1.当P[i] == P[j+1]时(见下图),kmp[i] = j+1,因为j=2说明P[1..2]和P[3..4]是完全相等的,而P[5]==P[3],那么P[1..3]和P[3..5]是完全相等的,那kmp[5] = 3;

2.当P[i] != P[j+1]时(见下图),j = kmp[j]往回跳,因为j == 3,说明P[1..3]和P[5..7]完全相等,而后缀的最后加上一个P[i],则意味着我们相当于在P[4]插入一个P[i],要在P[1..3]找一个位置j,使P[i] == P[j+1],转化为第一种情况,求kmp[4],即为kmp[i].那为什么j=kmp[j]呢,举个例子:aba插入一个b,只有两个a相等,后面才有可能成为公共前后缀.还有就是j要跳到什么程度呢?答案就是,当找到P[i]==P[j+1]时,或j跳到0了,说明不可能形成公共前后缀了,就停止.

下面上求kmp[]的代码:

string l;
j = 0;
kmp[1] = 0;
for(int i = 2;i <= n; i++) {
    while(j != 0 && l[i] != l[j+1]) j = kmp[j];
    if(l[i] == l[j+1]) j++;
    kmp[i] = j;
}

然后,我们再回归问题,如何在A串中匹配B呢?Talk is cheap,show you the code.

string a,b;
j = 0;
kmp[1] = 0;
for(int i = 2;i <= n; i++) {//n为B的长度 
    while(j != 0 && b[i] != b[j+1]) j = kmp[j];
    if(b[i] == b[j+1]) j++;
    kmp[i] = j;
}
j = 0;
for(int i = 1;i <= m; i++) {//m为A的长度 
    while(j != 0 && a[i] != b[j+1]) j = kmp[j];//匹配失败就往回跳 
    if(a[i] == b[j+1]) j++;//当前匹配成功 
    if(j == n) {//整个B匹配成功 
        printf("%d",i - j + 1);
        return 0;
    }
}

最后说一点,就是对于A和B匹配的时候,并不是i在向后动,而是j在向前动.

最后的吐槽时间:这算法好难理解(自认为),想出这算法的三个人也太nb了,写这篇博客好累,虽然不一定有人看,但心里还是挺高兴的.

AC代码:

//洛谷题的AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

string l1,l,pp,p2;
int lena,lenb,next[1000001],j;

int main() {
    l1 = l = " ";
    cin >> pp >> p2;
    l += pp;l1 += p2;
    lena = l.length();
    lenb = l1.length();
    next[1] = 0;
    for(int i = 2;i < lenb; i++) {
        while(j != 0 && l1[i] != l1[j+1]) j = next[j];
        if(l1[j+1] == l1[i]) j++;
        next[i] = j;
    }
    j = 0;
    for(int i = 1;i < lena; i++) {
        while(j != 0 && l[i] != l1[j+1]) j = next[j];
        if(l[i] == l1[j+1]) j++;
        if(j == lenb - 1) {
            printf("%d
",i - lenb + 2);
            j = next[j];
        }
    }
    for(int i = 1;i < lenb; i++)
        printf("%d ",next[i]);
    return 0;
}