P1908 逆序对(树状数组解法）

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 ai>aja_i>a_jai​>aj​ 且 i<ji<ji<j 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

Update:数据已加强。

输入格式

第一行，一个数 nnn，表示序列中有 nnn个数。

第二行 nnn 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 10910^9109。

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

输入输出样例

输入 #1 复制

6

5 4 2 6 3 1

输出 #1 复制

11

这个题可以用线段树写，但树状数组写起来更优雅一些。数据加强后可以作为树状数组+离散化的板子题了。看到数据范围我们知道常规的桶肯定是不行的，1e9直接MLE，那么需要离散化一下。这里我用的是结构体存储原数和其初始位置，然后对结构体数组从小到大sort一遍。此时开辟一个新的数组rank。比较关键的部分是：

for(i=1;i<=n;i++)

{

       rank[p[i].x]=i;

}

rank数组也相当一个桶，只不过桶的大小不必为1e9了，只需5e5即可。这样得到的新的rank数组实际上和原数组是等价的，只不过数的绝对大小变成了相对大小。然后利用树状数组处理。但这样其实有一个问题，就是数据可能是重复的。解决方法有2：一是用stable_sort排序，外加cmp函数里取等号；二是cmp函数中如果两个结构体数值相等，那么按照位置大小排序。这样的话即使两个数相等，也会使得分配后的大小能确保不会对逆序数的计算产生影响。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans=0,n,i;
int t[500005],rank[500005];
struct point
{
    int num;
    int x;
}p[500005];
bool cmp(point a, point b)
{
    if(a.num != b.num) return a.num < b.num;
    return a.x < b.x;
}
void add(int x, int y)
{
    for( ; x <= n; x += x & (-x)) t[x] += y;
}
int ask(int x)
{
    int ans=0;
    for(; x; x -= x & -x) ans += t[x]; 
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>n;
    int i;
    long long cnt=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&p[i].num); 
        p[i].x=i;//位置 
    } 
    sort(p + 1, p + n + 1, cmp);//按照原数排序
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        rank[p[i].x]=i;
    }

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cnt += 0ll + ask(n) - ask(rank[i]);
        add(rank[i], 1);
    } 
    cout<<cnt;
    return 0; 
}