深度学习笔记二：卷积神经网络（CNN）

卷积神经网络CNN

1. 绪论

1. 卷积神经网络的应用

基本应用：分类、检索、检测、分割

2. 传统神经网络 VS 卷积神经网络

深度学习三部曲：

放一个知乎上写的辅助理解CNN的文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/27908027

Step 1. 搭建神经网络

Step 2. 找到一个合适的损失函数（交叉熵损失、均方误差等）

softmax

给定W，可以由像素映射到类目得分。

损失函数是用来衡量吻合度的，衡量输出和真实的标签之间的差异。

可以调整参数/权重W，使得映射的结果和实际类别吻合。

(Softmax(z_i)=frac{e^{z_i}}{Sigma^C_{c=1}e^{z_c}}) 其中 为第i个节点的输出值，C为输出节点的个数，即分类的类别个数。通过Softmax函数就可以将多分类的输出值转换为范围在[0, 1]和为1的概率分布。

补充一下熵（Entropy）的概念。

eg：确定明天是否下雨，只需要一个bit即可（0代表不下雨，1代表下雨），也就是该随机变量的熵为1。如果是阴晴雨雪，需要(log^4_{2}=2)位bit。因此，确定一个有n种等可能情况的事件，需要有(log^n_{2})的信息量消除不确定，即熵为(log^n_{2})。

信息熵的公式为：(H(X)=-Sigma^n_{i=1}p(x_i)logo(x_i))

相对熵（KL散度）用于衡量对于同一个随机变量x的两个分布p(x)和q(x)之间的差异。在机器学习中p(x)常用于描述样本的真实分布，q(x)用于描述预测分布。公式为：(D_{KL}(p||q)=Sigma^n_{i=1}p(x_i)log(frac{p(x_i)}{q(x_i)}))

交叉熵：将KL散度的公式进行变形，得(D_{KL}(p||q)=-H(x)+[-Sigma^n_{i=1}p(x_i)log(q(x_i))]。)前半部分为p(x)的熵，后半部分为交叉熵。

如果是不等可能，由于各种可能性相互独立，信息熵就变为确定所有可能结果的平均信息量。

交叉熵损失：(Loss=-Sigma y_i lny^p_{i}) 其中(y_i)指的是真实的类别，p指的是predicted。

hinge loss:(L(y,f(x))=max(0,1-yf(x)))

常用回归损失：均方误差(MSE=Sigma^n_{i=1}(y_i-y_i^p)^2) 平均绝对值误差（L1损失)：(MAE=Sigma_{i=1}^n|y_i-y_i^p|)

Step 3. 找到一个合适的优化函数，更新参数（反向传播BP、随机梯度下降SGD等）

全连接网络：当前神经元和上一层每个神经元都有连接。

全连接网络处理图像的问题：权重矩阵的参数太多导致过拟合。卷积神经网络的解决方式：局部关联，参数共享。

2. 基本组成结构

1. 卷积 Convolutional Layer

一维卷积经常用在信号处理中，用于计算信号的延迟累积。

假设一个信号发生器在时刻t发出一个信号(x_t)，其信息的衰减率为(f_k)，即在k-1个时间步长后，信息衰减为原来的(f_k)倍。

设(f_1=1,f_2=frac{1}{2},f_3=frac{1}{4})，在时刻t收到的信号(y_t) 为当前时刻产生的信息和以前时刻延迟信息的叠加。

(y_t=Sigma_{k=1}^3 f_k imes x_{t-k+1}) 此处的(f=[f_1,f_2,f_3])被称为滤波器（filter）或者卷积核（convolutional kernel）

设滤波器f长为m，它和一个信号序列(x=[x_1,x_2,x_3...])的卷积记为(y_t=Sigma_{k=1}^3mf_k imes x_{t-k+1})

卷积是什么？卷积是对两个实变函数的一种数学操作。图像处理中图象是二维矩阵，因此需要二维卷积。.png)

其中

input：输入

kernel/filter：卷积核/滤波器

weights：权重（卷积核内部的值）

receptive field：感受野（卷积核进行一次卷积的时候所对应的输入的区域）

activation map 或 feature map：特征图

padding：在输入两边补0，保证以当前步长进行卷积操作时大小能匹配。

depth/channel：深度

output：输出

DS6H20.png)

输出的特征图大小：(frac{N-F}{stride}+1)（无padding）

有padding时输出的特征图大小：(frac{N+padding imes 2-F}{stride}+1)

深度：feature map的厚度，和filter的个数保持一致。每个filter经过一次卷积之后就会产生一个feature map

2. 池化

更像是缩放的一个过程。

Pooling：保留了主要特征的同时减少参数和计算量，防止过拟合，提高模型泛化能力，一般处于卷积层和卷积层之间，全连接层与全连接层之间。

Pooling的类型：

Max Pooling：最大值池化

Average Pooling：平均池化

池化的filter：(n imes n)代表每次在多大的区域池化。步长stride含义同卷积。

![A@%H7MNZZ]O2JOM$J@4X9X](C:Users ucDocumentsTencent Files1514400614FileRecvMobileFileImageA@%H7MNZZ]O2JOM$J@4X9X.png)

在分类的任务中倾向于使用最大值池化，filter的大小一般设置为(2 imes 2 or 3 imes 3)，步长一般设置为2.

3. 全连接

全连接层 / FC layer：

两层之间所有神经元都有权重连接，通常全连接层在卷积神经网络尾部，全连接层参数量通常最大。

3. 卷积神经网络典型结构

1. AlexNet

成功原因：大数据训练（百万级ImageNet图像数据），非线性激活函数（ReLU），防止过拟合（Dropout，Data augmentation），其他（双GPU）。

DropOut（随机失活）：训练时随即关闭部分神经元，测试时整合所有神经元。过拟合的原因：参数过多

数据增强：平移，翻转，对称。改变RGB通道强度。

AlexNet分层解析

第一次卷积：卷积-ReLU-池化

第二次卷积：卷积-ReLU-池化

第三次卷积：卷积-ReLU

第四次卷积：卷积-ReLU

第五次卷积：卷积-ReLU-池化

第六层：全连接-ReLU-DropOut

第七层：全连接-ReLU-DropOut

第八层：全连接-SoftMax

2. ZFNet

网络结构与AlexNet相同，将卷积层1中的感受野大小由(11 imes 11)改为(7 imes 7)，步长由4改为2.卷积层3，4，5中的 滤波器个数由384，384，256改为512，512，1024.

3. VGG

VGG是一个更深网络。8 layers（AlexNet）-> 16-19（VGG）

4. GoogleNet

包含22个带参数的层（加上池化层就是27层），独立成块的层共100个。参数量大约是AlexNet的1/12，无FC层。

初衷：多卷积核增加特征多样性。

V2:降维：插入(1 imes 1)卷积核。

V3:降低参数量（小的卷积核代替大的卷积核，一个(5 imes 5)可以用两个(3 imes 3)替代），增加非线性激活函数使得网络产生更多独立特（disentangled feature），表征能力更强，训练更快。

Stem部分：卷积-池化-卷积-卷积-池化

5. ResNet

残差学习网络。

层数多了会出现网络退化的问题。

残差：(F(x)=H(x)-x)

残差学习：(H(X))不可训练，(F(x))可训练，可以通过训练(F(x))得到(H(x))，即为残差学习。

ResNet是由5个stage组成（conv2_x, conv3_x, conv4_x, conv5_x），五个stage又分为若干个block，每个block又分为若干个卷积层。一套代码可以实现不同的层次。

Global Average Pooling（全局平均池化）：把一个通道变成一个数字（求平均值）。可以替代全连接层，更少出现过拟合。

API: torch.nn.AdaptiveAvgPool2d(output_size)

50层以上和50层以下的ResNet的区别：BottleNeck。把高维用(1 imes 1)卷积核降维进行卷积操作，再升维。

4. 代码练习

1. 卷积神经网络

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import torch.optim as optim
from torchvision import datasets, transforms
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy

# 一个函数，用来计算模型中有多少参数
def get_n_params(model):
    np=0
    for p in list(model.parameters()):
        np += p.nelement()
    return np

# 使用GPU训练，可以在菜单 "代码执行工具" -> "更改运行时类型" 里进行设置
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
input_size  = 28*28   # MNIST上的图像尺寸是 28x28
output_size = 10      # 类别为 0 到 9 的数字，因此为十类

train_loader = torch.utils.data.DataLoader(
    datasets.MNIST('./data', train=True, download=True,
        transform=transforms.Compose(
            [transforms.ToTensor(),
             transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))])),
    batch_size=64, shuffle=True)

test_loader = torch.utils.data.DataLoader(
    datasets.MNIST('./data', train=False, transform=transforms.Compose([
             transforms.ToTensor(),
             transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))])),
    batch_size=1000, shuffle=True)
plt.figure(figsize=(8, 5))
for i in range(20):
    plt.subplot(4, 5, i + 1)
    image, _ = train_loader.dataset.__getitem__(i)
    plt.imshow(image.squeeze().numpy(),'gray')
    plt.axis('off');
class FC2Layer(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, n_hidden, output_size):
        # nn.Module子类的函数必须在构造函数中执行父类的构造函数
        # 下式等价于nn.Module.__init__(self)        
        super(FC2Layer, self).__init__()
        self.input_size = input_size
        # 这里直接用 Sequential 就定义了网络，注意要和下面 CNN 的代码区分开
        self.network = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_size, n_hidden), 
            nn.ReLU(), 
            nn.Linear(n_hidden, n_hidden), 
            nn.ReLU(), 
            nn.Linear(n_hidden, output_size), 
            nn.LogSoftmax(dim=1)
        )
    def forward(self, x):
        # view一般出现在model类的forward函数中，用于改变输入或输出的形状
        # x.view(-1, self.input_size) 的意思是多维的数据展成二维
        # 代码指定二维数据的列数为 input_size=784，行数 -1 表示我们不想算，电脑会自己计算对应的数字
        # 在 DataLoader 部分，我们可以看到 batch_size 是64，所以得到 x 的行数是64
        # 大家可以加一行代码：print(x.cpu().numpy().shape)
        # 训练过程中，就会看到 (64, 784) 的输出，和我们的预期是一致的

        # forward 函数的作用是，指定网络的运行过程，这个全连接网络可能看不啥意义，
        # 下面的CNN网络可以看出 forward 的作用。
        x = x.view(-1, self.input_size)
        return self.network(x)
    


class CNN(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, n_feature, output_size):
        # 执行父类的构造函数，所有的网络都要这么写
        super(CNN, self).__init__()
        # 下面是网络里典型结构的一些定义，一般就是卷积和全连接
        # 池化、ReLU一类的不用在这里定义
        self.n_feature = n_feature
        self.conv1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=n_feature,
kernel_size=5)
        self.conv2 = nn.Conv2d(n_feature, n_feature, kernel_size=5)
        self.fc1 = nn.Linear(n_feature*4*4, 50)
        self.fc2 = nn.Linear(50, 10)    
    
    # 下面的 forward 函数，定义了网络的结构，按照一定顺序，把上面构建的一些结构组织起来
    # 意思就是，conv1, conv2 等等的，可以多次重用
    def forward(self, x, verbose=False):
        x = self.conv1(x)
        x = F.relu(x)
        x = F.max_pool2d(x, kernel_size=2)
        x = self.conv2(x)
        x = F.relu(x)
        x = F.max_pool2d(x, kernel_size=2)
        x = x.view(-1, self.n_feature*4*4)
        x = self.fc1(x)
        x = F.relu(x)
        x = self.fc2(x)
        x = F.log_softmax(x, dim=1)
        return x
# 训练函数
def train(model):
    model.train()
    # 主里从train_loader里，64个样本一个batch为单位提取样本进行训练
    for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
        # 把数据送到GPU中
        data, target = data.to(device), target.to(device)

        optimizer.zero_grad()
        output = model(data)
        loss = F.nll_loss(output, target)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        if batch_idx % 100 == 0:
            print('Train: [{}/{} ({:.0f}%)]	Loss: {:.6f}'.format(
                batch_idx * len(data), len(train_loader.dataset),
                100. * batch_idx / len(train_loader), loss.item()))


def test(model):
    model.eval()
    test_loss = 0
    correct = 0
    for data, target in test_loader:
        # 把数据送到GPU中
        data, target = data.to(device), target.to(device)
        # 把数据送入模型，得到预测结果
        output = model(data)
        # 计算本次batch的损失，并加到 test_loss 中
        test_loss += F.nll_loss(output, target, reduction='sum').item()
        # get the index of the max log-probability，最后一层输出10个数，
        # 值最大的那个即对应着分类结果，然后把分类结果保存在 pred 里
        pred = output.data.max(1, keepdim=True)[1]
        # 将 pred 与 target 相比，得到正确预测结果的数量，并加到 correct 中
        # 这里需要注意一下 view_as ，意思是把 target 变成维度和 pred 一样的意思                                                
        correct += pred.eq(target.data.view_as(pred)).cpu().sum().item()

    test_loss /= len(test_loader.dataset)
    accuracy = 100. * correct / len(test_loader.dataset)
    print('
Test set: Average loss: {:.4f}, Accuracy: {}/{} ({:.0f}%)
'.format(
        test_loss, correct, len(test_loader.dataset),
        accuracy))
#小型全连接网络上训练
n_hidden = 8 # number of hidden units

model_fnn = FC2Layer(input_size, n_hidden, output_size)
model_fnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_fnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_fnn)))

train(model_fnn)
test(model_fnn)
# Training settings 卷积神经网络上训练
n_features = 6 # number of feature maps

model_cnn = CNN(input_size, n_features, output_size)
model_cnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_cnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_cnn)))

train(model_cnn)
test(model_cnn)
#打乱图像像素顺序

# 这里解释一下 torch.randperm 函数，给定参数n，返回一个从0到n-1的随机整数排列
perm = torch.randperm(784)
plt.figure(figsize=(8, 4))
for i in range(10):
    image, _ = train_loader.dataset.__getitem__(i)
    # permute pixels
    image_perm = image.view(-1, 28*28).clone()
    image_perm = image_perm[:, perm]
    image_perm = image_perm.view(-1, 1, 28, 28)
    plt.subplot(4, 5, i + 1)
    plt.imshow(image.squeeze().numpy(), 'gray')
    plt.axis('off')
    plt.subplot(4, 5, i + 11)
    plt.imshow(image_perm.squeeze().numpy(), 'gray')
    plt.axis('off')
# 对每个 batch 里的数据，打乱像素顺序的函数
def perm_pixel(data, perm):
    # 转化为二维矩阵
    data_new = data.view(-1, 28*28)
    # 打乱像素顺序
    data_new = data_new[:, perm]
    # 恢复为原来4维的 tensor
    data_new = data_new.view(-1, 1, 28, 28)
    return data_new

# 训练函数
def train_perm(model, perm):
    model.train()
    for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
        data, target = data.to(device), target.to(device)
        # 像素打乱顺序
        data = perm_pixel(data, perm)

        optimizer.zero_grad()
        output = model(data)
        loss = F.nll_loss(output, target)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        if batch_idx % 100 == 0:
            print('Train: [{}/{} ({:.0f}%)]	Loss: {:.6f}'.format(
                batch_idx * len(data), len(train_loader.dataset),
                100. * batch_idx / len(train_loader), loss.item()))

# 测试函数
def test_perm(model, perm):
    model.eval()
    test_loss = 0
    correct = 0
    for data, target in test_loader:
        data, target = data.to(device), target.to(device)

        # 像素打乱顺序
        data = perm_pixel(data, perm)

        output = model(data)
        test_loss += F.nll_loss(output, target, reduction='sum').item()
        pred = output.data.max(1, keepdim=True)[1]                                            
        correct += pred.eq(target.data.view_as(pred)).cpu().sum().item()

    test_loss /= len(test_loader.dataset)
    accuracy = 100. * correct / len(test_loader.dataset)
    print('
Test set: Average loss: {:.4f}, Accuracy: {}/{} ({:.0f}%)
'.format(
        test_loss, correct, len(test_loader.dataset),
        accuracy))
#全连接网络上测试
perm = torch.randperm(784)
n_hidden = 8 # number of hidden units

model_fnn = FC2Layer(input_size, n_hidden, output_size)
model_fnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_fnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_fnn)))

train_perm(model_fnn, perm)
test_perm(model_fnn, perm)
#卷积神经网络上测试
perm = torch.randperm(784)
n_features = 6 # number of feature maps

model_cnn = CNN(input_size, n_features, output_size)
model_cnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_cnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_cnn)))

train_perm(model_cnn, perm)
test_perm(model_cnn, perm)

打乱像素顺序后卷积神经网络就8行了。

老师的解释是：“这是因为对于卷积神经网络，会利用像素的局部关系，但是打乱顺序以后，这些像素间的关系将无法得到利用。”

个人觉得求卷积操作是为了从输入图像中提取特征，打乱了像素这些特征就提取不到了。“通过使用输入数据中的小方块来学习图像特征，卷积保留了像素间的空间关系。”

2. CNN_CIFAR10

import torch
import torchvision
import torchvision.transforms as transforms
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import torch.optim as optim

# 使用GPU训练，可以在菜单 "代码执行工具" -> "更改运行时类型" 里进行设置
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

transform = transforms.Compose(
    [transforms.ToTensor(),
     transforms.Normalize((0.5, 0.5, 0.5), (0.5, 0.5, 0.5))])

# 注意下面代码中：训练的 shuffle 是 True，测试的 shuffle 是 false
# 训练时可以打乱顺序增加多样性，测试是没有必要
trainset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=True,
                                        download=True, transform=transform)
trainloader = torch.utils.data.DataLoader(trainset, batch_size=64,
                                          shuffle=True, num_workers=2)

testset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=False,
                                       download=True, transform=transform)
testloader = torch.utils.data.DataLoader(testset, batch_size=8,
                                         shuffle=False, num_workers=2)

classes = ('plane', 'car', 'bird', 'cat',
           'deer', 'dog', 'frog', 'horse', 'ship', 'truck')
def imshow(img):
    plt.figure(figsize=(8,8))
    img = img / 2 + 0.5     # 转换到 [0,1] 之间
    npimg = img.numpy()
    plt.imshow(np.transpose(npimg, (1, 2, 0)))
    plt.show()

# 得到一组图像
images, labels = iter(trainloader).next()
# 展示图像
imshow(torchvision.utils.make_grid(images))
# 展示第一行图像的标签
for j in range(8):
    print(classes[labels[j]])
class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.conv1 = nn.Conv2d(3, 6, 5)
        self.pool = nn.MaxPool2d(2, 2)
        self.conv2 = nn.Conv2d(6, 16, 5)
        self.fc1 = nn.Linear(16 * 5 * 5, 120)
        self.fc2 = nn.Linear(120, 84)
        self.fc3 = nn.Linear(84, 10)

    def forward(self, x):
        x = self.pool(F.relu(self.conv1(x)))
        x = self.pool(F.relu(self.conv2(x)))
        x = x.view(-1, 16 * 5 * 5)
        x = F.relu(self.fc1(x))
        x = F.relu(self.fc2(x))
        x = self.fc3(x)
        return x

# 网络放到GPU上
net = Net().to(device)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.Adam(net.parameters(), lr=0.001)
for epoch in range(10):  # 重复多轮训练
    for i, (inputs, labels) in enumerate(trainloader):
        inputs = inputs.to(device)
        labels = labels.to(device)
        # 优化器梯度归零
        optimizer.zero_grad()
        # 正向传播 +　反向传播 + 优化 
        outputs = net(inputs)
        loss = criterion(outputs, labels)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        # 输出统计信息
        if i % 100 == 0:   
            print('Epoch: %d Minibatch: %5d loss: %.3f' %(epoch + 1, i + 1, loss.item()))

print('Finished Training')
# 得到一组图像
images, labels = iter(testloader).next()
# 展示图像
imshow(torchvision.utils.make_grid(images))
# 展示图像的标签
for j in range(8):
    print(classes[labels[j]])
outputs = net(images.to(device))
_, predicted = torch.max(outputs, 1)

# 展示预测的结果
for j in range(8):
    print(classes[predicted[j]])
correct = 0
total = 0

for data in testloader:
    images, labels = data
    images, labels = images.to(device), labels.to(device)
    outputs = net(images)
    _, predicted = torch.max(outputs.data, 1)
    total += labels.size(0)
    correct += (predicted == labels).sum().item()

print('Accuracy of the network on the 10000 test images: %d %%' % (
    100 * correct / total))

整个数据集上的准确率只有63%。

3. 使用 VGG16 对 CIFAR10 分类

import torch
import torchvision
import torchvision.transforms as transforms
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import torch.optim as optim

# 使用GPU训练，可以在菜单 "代码执行工具" -> "更改运行时类型" 里进行设置
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

transform_train = transforms.Compose([
    transforms.RandomCrop(32, padding=4),
    transforms.RandomHorizontalFlip(),
    transforms.ToTensor(),
    transforms.Normalize((0.4914, 0.4822, 0.4465), (0.2023, 0.1994, 0.2010))])

transform_test = transforms.Compose([
    transforms.ToTensor(),
    transforms.Normalize((0.4914, 0.4822, 0.4465), (0.2023, 0.1994, 0.2010))])

trainset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=True,  download=True, transform=transform_train)
testset  = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=False, download=True, transform=transform_test)

trainloader = torch.utils.data.DataLoader(trainset, batch_size=128, shuffle=True, num_workers=2)
testloader = torch.utils.data.DataLoader(testset, batch_size=128, shuffle=False, num_workers=2)

classes = ('plane', 'car', 'bird', 'cat',
           'deer', 'dog', 'frog', 'horse', 'ship', 'truck')
           
class VGG(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(VGG, self).__init__()
        self.cfg = [64, 'M', 128, 'M', 256, 256, 'M', 512, 512, 'M', 512, 512, 'M']
        self.features = self._make_layers(cfg)
        self.classifier = nn.Linear(2048, 10)

    def forward(self, x):
        out = self.features(x)
        out = out.view(out.size(0), -1)
        out = self.classifier(out)
        return out

    def _make_layers(self, cfg):
        layers = []
        in_channels = 3
        for x in cfg:
            if x == 'M':
                layers += [nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2)]
            else:
                layers += [nn.Conv2d(in_channels, x, kernel_size=3, padding=1),
                           nn.BatchNorm2d(x),
                           nn.ReLU(inplace=True)]
                in_channels = x
        layers += [nn.AvgPool2d(kernel_size=1, stride=1)]
        return nn.Sequential(*layers)
        
# 网络放到GPU上 这里会报错cfg没有定义，很迷
###
net = VGG().to(device)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.Adam(net.parameters(), lr=0.001)

for epoch in range(10):  # 重复多轮训练
    for i, (inputs, labels) in enumerate(trainloader):
        inputs = inputs.to(device)
        labels = labels.to(device)
        # 优化器梯度归零
        optimizer.zero_grad()
        # 正向传播 +　反向传播 + 优化 
        outputs = net(inputs)
        loss = criterion(outputs, labels)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        # 输出统计信息
        if i % 100 == 0:   
            print('Epoch: %d Minibatch: %5d loss: %.3f' %(epoch + 1, i + 1, loss.item()))

print('Finished Training')

correct = 0
total = 0

for data in testloader:
    images, labels = data
    images, labels = images.to(device), labels.to(device)
    outputs = net(images)
    _, predicted = torch.max(outputs.data, 1)
    total += labels.size(0)
    correct += (predicted == labels).sum().item()

print('Accuracy of the network on the 10000 test images: %.2f %%' % (
    100 * correct / total))