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  • POJ1061/洛谷P1516 青蛙的约会(exgcd)

    题目描述

    两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。

    我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

    输入格式

    输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L

    其中0<x≠y < =2000000000,0 < m、n < =2000000000,0 < L < =2100000000。

    输出格式

    输出碰面所需要的天数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

    输入输出样例

    输入 #1复制

    1 2 3 4 5
    

    输出 #1复制

    4
    

    首先根据题意不难列出方程:假设跳了t天,那么有:

    ((t imes m + x) \% L = (t imes n + y) \% L)

    取模后相等说明相差了k倍的L。因此可以变形为:

    (t imes (m - n) + (x - y) = k imes L)

    继续移项,可得:

    (t imes (n - m) + k imes L = x - y)

    发现这正是喜闻乐见的不定方程的形式。方便起见,令:

    a = n - m, b = L, c = x - y, GCD = gcd(a, b), x = t, y = k(此处的x和y与输入的x和y没有关系,仅仅是方便表示)
    

    则方程变为:(ax+by=c)

    因为c不一定是GCD的倍数,如果不是的话方程无解,输出impossible即可。否则的话可以进行如下变换:

    [afrac{x imes GCD}{c} + bfrac{y imes GCD}{c} = GCD ]

    这样就可以套exgcd的板子求出来一组特解((x_0, y_0))。注意这组特解的(x_0)是对应(frac{x imes GCD}{c})这个变量的,相当于换元了。而通解为(x_0 + kkfrac{b}{GCD}),根据题意我们要找的是一个最小的解。因为kk是在整数范围内取,所以有可能是负的,那么最小的一个解实际上可以用取模的方法求:(x_{min} = x_0 \% frac{b}{GCD})(为了防止负数模出问题还要加一个(frac{b}{GCD}))。但是因为经过换元了,所以还需要乘(frac{c}{GCD})才能得到真正的天数。

    #include <bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    using namespace std;
    ll x, y, m, n, L;
    ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
      if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
      }
      ll d = exgcd(b, a % b, x, y);
      ll t = x;
      x = y;
      y = t - (a / b) * y;
      return d;
    }
    ll gcd(ll a, ll b) {
    	return b ? gcd(b, a % b) : a;
    }
    int main() {
    	cin >> x >> y >> m >> n >> L;
    	//假设跳了t天
    	//(t * m + x) % L == (t * n + y) % L
    	//t * (m - n) + (x - y) == k * L
    	//t * (m - n) - k * L == y - x
    	//t * (n - m) + k * L == x - y
    	ll a = n - m, b = L, c = x - y;
    	if(a < 0) {
    		a = -a;
    		c = -c;
    	}
    	ll GCD = gcd(a, b);
    	if(c % GCD != 0) {//无解
    		cout << "Impossible";
    	} else {
    		ll x0, y0;
    		exgcd(a, b, x0, y0);
    		ll ans = (c / GCD * x0 % (b / GCD) + b / GCD) % (b / GCD);//注意c / GCD的位置
    		cout << ans;
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lipoicyclic/p/15367522.html
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