gcd,gcd(欧拉函数）

Description

给你两个数a,m;

问你在 [0,m−1]范围内有几个数 xx 满足gcd(a,m)=gcd(a+x,m)；

Input

第一行一个整数TT；

接下来TT行，每行两个整数a,ma,m;

1≤a<m≤1e91≤a<m≤1e9

Output

针对每两个数，输出满足条件的xx的数量。

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3
4 9
5 10
42 9999999967

Output

6
1
9999999966

Hint

对于第一个4 9：

满足的x是:0 1 3 4 6 7 

gcd(a,m)==gcd(a+x,m)由欧几里得算法

gcd(m,(a+x)%m)=temp
令(a+x)%m==k;//这里一个x对应一个k
gcd(a,k)==temp;
gcd(a/temp,k)==1转化位欧拉函数找与a/temp的互质的个数

#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
template <typename Tp>
void read(Tp &x){//read(n);
    x=0;char ch=1;int fh;
    while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')){
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-'){
        fh=-1;ch=getchar();
    }else fh=1;
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();
    }
    x*=fh;
}
inline char read1()//字符串读入挂
{
    register char ch=getchar();
    while(ch<'A'||ch>'M')ch=getchar();
    return ch; 
}
const int maxn=1e4+100;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0){
        return a;
    }
    else{
        return gcd(b,a%b);
    }
} 
ll Euler(ll n) {//求φ(m/tmp)
    ll res = n;
    for (ll i = 2; i*i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);//先除防止数据溢出
            while (n % i == 0)n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    //gcd(a,m)==gcd(a+x,m)
    //gcd(m,(a+x)%m)=temp
    //令(a+x)%m==k;//这里一个x对应一个k 
    //gcd(a,k)==temp;
    //gcd(a/temp,k)==1转化位欧拉函数找与a/temp的互质的个数 
    while(T--){
        ll a,m;
        scanf("%lld%lld",&a,&m);
        ll tmp=gcd(a,m);
        printf("%lld
",Euler(m/tmp));
    }
    return 0;
}

有一天ZKL遇到一道数学题。给定三个正整数a,b,m，问有多少个整数x满足0≤x<m并且gcd(a+b,m)=gcd(b-a+x,m)。但是这对于号称“数学天才”的ZKL来说过于简单了，所以现在她把这道问题抛给了你。

gcd(a,b)代表a和b的最大公约数。

Input

第一行一个整数T代表有T组询问。(1≤T≤10)

接下来T行每行三个整数a,b,m(1≤a≤b≤1012 , 1≤m≤1012)。

Output

T行，第i行代表第i组询问中，满足条件的x的数量

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3 1 2 3 2 2 9 12 123 1234

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1 6 616

 

 

 令tmp=gcd(a+b,m)，问你有几个x满足gcd(b-a+x,m)==tmp。根据欧几里得算法，gcd(b-a+x,m) == gcd(m,(b-a+x)%m)。此时我们令k=(b-a+x)%m，因为0<=x<m，所以我们可以发现一个x对应一个k，同时k的范围0<=k<m。然后我们就可以将题目转化为0<=k<m，求满足gcd(m,k)==tmp式子k的数量。我们可以发现当k == 0时与k == m时gcd(m,k)都等于m，于是我们可以将k的范围转化成0<k<=m，我们可以得到一下式子，再经过转化，我们可以得到所求即为小于等于(m/tmp)且与(m/tmp)互质的数的数量就是求φ(m/tmp)。

 

 

 

 

 

 

 

#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
template <typename Tp>
void read(Tp &x){//read(n);
    x=0;char ch=1;int fh;
    while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')){
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-'){
        fh=-1;ch=getchar();
    }else fh=1;
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();
    }
    x*=fh;
}
inline char read1()//字符串读入挂
{
    register char ch=getchar();
    while(ch<'A'||ch>'M')ch=getchar();
    return ch; 
}
const int maxn=1e4+100;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0){
        return a;
    }
    else{
        return gcd(b,a%b);
    }
} 
ll Euler(ll n) {//求φ(m/tmp)
    ll res = n;
    for (ll i = 2; i*i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);//先除防止数据溢出
            while (n % i == 0)n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    //gcd(a,m)==gcd(a+x,m)
    //gcd(m,(a+x)%m)=temp
    //令(a+x)%m==k;//这里一个x对应一个k 
    //gcd(a,k)==temp;
    //gcd(a/temp,k)==1转化位欧拉函数找与a/temp的互质的个数 
    while(T--){
        ll a,b,m;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
        ll tmp=gcd(a+b,m);
        printf("%lld
",Euler(m/tmp));
    }
    return 0;
}